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C’est par l’intégration de ces équations qu’on pourra parvenir à une seule solution exacte du Problème qui concerne le mouvement des nœuds et la variation des inclinaisons des orbites de plusieurs planètes $\mathrm {T,T_{1},T_{2}} ,\ldots ,$ en vertu de leurs attractions mutuelles. Nous allons nous en occuper, après avoir fait quelques remarques qui serviront à jeter un plus grand jour sur cette matière.

Article III. — Remarques sur les équations qui donnent les mouvements des nœuds et les variations des inclinaisons des orbites planétaires.

17. Imaginons qu’il n’y ait que deux planètes $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} _{1},$ et que l’orbite de cette dernière soit fixe et immobile on pourra alors regarder le plan de cette orbite comme celui de l’écliptique, et y rapporter l’orbite mobile de la planète $\mathrm {T} .$ De cette manière, $\theta$ sera la tangente de l’inclinaison et $\omega$ la longitude du nœud de l’orbite de $\mathrm {T}$ sur l’orbite de $\mathrm {T} _{1}\,;$ la tangente $\theta _{1}$ de l’inclinaison de cette dernière orbite sera null : par conséquent on aura $s_{1}=0,\ u_{1}=0,$ et toutes les autres quantités $s_{2},u_{2},\ldots$ seront aussi nulles, parce qu’on ne considère que les seules planètes $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} _{1}.$

Donc, dans cette hypothèse, les équations du n^o 16 se réduiront à ces deux-ci

${\frac {ds}{dt}}+(0,1)u=0,\quad {\frac {du}{dt}}-(0,1)s=0\,;$

d’où l’on tire sur-le-champ celle-ci

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+(0,1)^{2}s=0,$

laquelle donne

$s=\mathrm {A} \sin \left[\alpha -(0,1)t\right],$

et de là

$u=\mathrm {A} \cos \left[\alpha -(0,1)t\right]\,;$