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coefficient de $\mathrm {A} \sin \alpha ,$ on aura sur-le-champ la valeur de cette même quantité. Donc

${\begin{aligned}\mathrm {A} \sin \alpha &=\left(a^{n-1}+\lambda a^{n-2}+\mu a^{n-3}+\nu a^{n-4}+\ldots \right)\mathrm {S} \\&+\left(a^{n-2}+\lambda a^{n-3}+\mu a^{n-4}+\ldots \right)\mathrm {S} ^{(1)}\\&+\left(a^{n-3}+\lambda a^{n-4}+\ldots \right)\mathrm {S} ^{(2)},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&+(a+\lambda )\mathrm {S} ^{(n-2)}+\mathrm {S} ^{(n-1)},\end{aligned}}$

divisée par

$na^{n-1}+(n-1)\lambda a^{n-2}+(n-2)\mu a^{n-3}+(n-3)\nu a^{n-4}+\ldots .$

On trouvera de même les valeurs des quantités $\mathrm {B} \sin \beta ,\mathrm {C} \sin \gamma ,\ldots ,$ et il n’y aura pour cela qu’à changer, dans l’expression précédente de $\mathrm {A} \sin \alpha ,$ la racine $a$ successivement en $b,c,\ldots .$

Si l’on traite d’une manière semblable les $n$ équations

${\begin{aligned}\mathrm {S} _{1}\ \ =&\quad \mathrm {A} _{1}\sin \alpha +\quad \mathrm {B} _{1}\sin \beta +\quad \mathrm {C} _{1}\sin \gamma +\ldots ,\\\mathrm {S} _{1}^{(1)}=&a\ \ \mathrm {A} _{1}\sin \alpha +b\ \,\mathrm {B} _{1}\sin \beta \,+c\,\ \mathrm {C} _{1}\sin \gamma \,+\ldots ,\\\mathrm {S} _{1}^{(2)}=&a^{2}\,\mathrm {A} _{1}\sin \alpha +b^{2}\mathrm {B} _{1}\sin \beta +c^{2}\mathrm {C} _{1}\sin \gamma +\ldots ,\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

on déduira les valeurs des $n$ quantités

$\mathrm {A} _{1}\sin \alpha ,\quad \mathrm {B} _{1}\sin \beta ,\quad \mathrm {C} _{1}\sin \gamma ,\ldots \,;$

et il est clair que ces valeurs ne différeront de celles de

$\mathrm {A} \sin \alpha ,\quad \mathrm {B} \sin \beta ,\quad \mathrm {C} \sin \gamma ,\ldots ,$

trouvées ci-dessus, qu’en ce que, à la place des quantités $\mathrm {S,S^{(1)},S^{(2)}} ,\ldots ,$ il y aura les quantités $\mathrm {S_{1},S_{1}^{(1)},S_{1}^{(2)}} ,\ldots .$

De là il est facile de conclure que, si dans les mêmes valeurs de

$\mathrm {A} \sin \alpha ,\quad \mathrm {B} \sin \beta ,\quad \mathrm {C} \sin \gamma ,\ldots ,$

on met à la place des quantités $\mathrm {S,S^{(1)},S^{(2)}} ,\ldots$ les quantités $\mathrm {S_{2},S_{2}^{(1)}} ,$