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$d\omega =\mathrm {\frac {B^{2}+AB\cos \varphi }{A^{2}+B^{2}+2AB\cos \varphi }} d\varphi ={\frac {d\varphi }{2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {\left(B^{2}-A^{2}\right)} d\varphi }{\mathrm {A^{2}+B^{2}+2AB\cos \varphi } }}\,;$

or j’observe que, si l’on prend un angle Ÿ tel que l’on ait

$\operatorname {tang} \psi =\mathrm {\frac {B-A}{B+A}} \operatorname {tang} {\frac {\varphi }{2}},$

on trouve, par la différentiation,

$d\psi ={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {\left(B^{2}-A^{2}\right)} d\varphi }{\mathrm {A^{2}+B^{2}+2AB\cos \varphi } }}\,;$

d’où il s’ensuit qu’on aura

$d\omega ={\frac {d\varphi }{2}}+d\psi ,$

et, en intégrant,

$\omega ={\frac {\varphi }{2}}+\psi +m,$

$m$ étant une constante qui sera égale à la valeur de $\omega$ lorsque $\varphi =0,$ parce que $\psi$ est aussi égal à zéro dans ce cas ; or, en faisant $\varphi =0,$ on a

$bt+\beta =\alpha ,$

et, substituant cette valeur dans l’expression ci-dessus de $\operatorname {tang} \omega ,$ il vient

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\operatorname {tang} \alpha \,;$

donc $\omega =\alpha \,;$ par conséquent $m=\alpha \,;$ de sorte qu’on aura, en général,

$\omega ={\frac {\varphi }{2}}+\psi +\alpha .$

Maintenant il est clair que, si $\mathrm {B>A}$ (abstraction faite des signes), la quantité $\mathrm {\frac {B-A}{B+A}}$ sera toujours positive, quels que soient les signes de $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A} \,;$ de plus, si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de même signe, cette quantité sera toujours $<1\,;$ au contraire elle sera $>1,$ si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de signes différents.