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d’où l’on pourra tirer par l’intégration la valeur de l’angle $\omega .$ Si l’on suppose

${\begin{aligned}&\mathrm {bB^{2}+cC^{2}} +\ldots +b\mathrm {AB} \cos(bt+\beta -\alpha )+c\mathrm {AC} \cos(ct+\gamma -\alpha )+\ldots \\&\quad +(b+c)\mathrm {BC} \cos \left[(b-c)t+\beta -\gamma \right]+\ldots =0,\end{aligned}}$

on a l’équation qui donne les maxima et minima de l’angle $\omega \,;$ si donc cette équation est possible, l’angle $\omega$ sera renfermé dans des limites données, et le nœud n’aura par conséquent qu’un mouvement de libration ; mais, si l’équation dont il s’agit est impossible, il n’y aura alors ni maximum ni minimum ; l’angle $\omega$ croîtra donc continuellement, et le nœud aura nécessairement un mouvement continu et progressif.

34. Pour mettre ce que nous venons de dire dans un plus grand jour, considérons le cas où il n’y a que deux orbites mobiles ; on aura dans ce cas

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {\mathrm {A} \sin \alpha +\mathrm {B} \sin(bt+\beta )}{\mathrm {A} \cos \alpha +\mathrm {B} \cos(bt+\beta )}},$

et de là

${\frac {d\omega }{dt}}={\frac {b\mathrm {B} \left[\mathrm {B+A} \cos(bt+\beta -\alpha )\right]}{\mathrm {A^{2}+B^{2}+2AB} \cos(bt+\beta -\alpha )}}\,;$

l’équation du maximum ou minimum sera donc

$\mathrm {B+A} \cos(bt+\beta -\alpha )=0,$

laquelle donne

$\cos(bt+\beta -\alpha )=-\mathrm {\frac {B}{A}} .$

Cette équation n’est possible, comme l’on voit, que lorsque $\mathrm {B} =$ ou $<\mathrm {A} ,$ abstraction faite des signes dans ce cas donc le nœud de l’orbite de la planète $\mathrm {T}$ n’aura qu’un mouvement de libration ; mais si $\mathrm {B>A} ,$ alors l’équation deviendra impossible, et le nœud aura par conséquent un mouvement progressif sur l’écliptique.

35. Pour déterminer ces mouvements du nœud, nous allons chercher la valeur de l’angle $\omega$ par l’intégration de l’équation ci-dessus. Faisant, pour abréger,

$bt+\beta -\alpha =\varphi ,$