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réduisant ces deux logarithmes en série, on aura

$\omega =\zeta +\mathrm {\frac {A}{B}} {\frac {e^{(\alpha -\zeta ){\sqrt {-1}}1}-e^{-(\alpha -\zeta ){\sqrt {-1}}1}}{2{\sqrt {-1}}}}-\mathrm {\frac {A^{2}}{2B^{2}}} {\frac {e^{2(\alpha -\zeta ){\sqrt {-1}}1}-e^{-2(\alpha -\zeta ){\sqrt {-1}}1}}{2{\sqrt {-1}}}}+\ldots ,$

ou bien

$\omega =\zeta +\mathrm {\frac {A\sin(\alpha -\zeta )}{B}} -\mathrm {\frac {A^{2}\sin 2(\alpha -\zeta )}{2B^{2}}} +\mathrm {\frac {A^{3}\sin 3(\alpha -\zeta )}{3B^{3}}} +\ldots .$

Comme $\mathrm {\frac {A}{B}}$ est supposée une quantité moindre que l’unité, il est clair que la série précédente sera toujours convergente, et par conséquent d’autant plus exacte qu’on la poussera à un plus grand nombre de termes ; d’où il est aisé de conclure que la valeur moyenne de $\omega$ sera $\zeta$ ou bien $bt+\beta ,$ comme on l’a trouvé ci-dessus. Mais, si $\mathrm {B<A} ,$ alors il n’y aura qu’à changer, dans l’expression précédente de $\omega ,$ $\mathrm {A}$ en $\mathrm {B} ,$ $\alpha$ en $\zeta ,$ et vice versâ, ce qui ne change rien à la valeur de $\operatorname {tang} \omega ,$ et l’on aura par ce moyen

$\omega =\alpha +\mathrm {\frac {B\sin(\zeta -\alpha )}{A}} -\mathrm {\frac {B^{2}\sin 2(\zeta -\alpha )}{2A^{2}}} +\mathrm {\frac {B^{3}\sin 3(\zeta -\alpha )}{3A^{3}}} +\ldots .$

Cette série sera aussi convergente à cause de $\mathrm {\frac {B}{A}} <1\,;$ par conséquent on aura dans ce cas $\alpha$ pour la valeur moyenne de $\omega ,$ ainsi qu’on l’a déjà vu plus haut.

37. On peut aussi appliquer la méthode précédente à la formule générale du n^o 32, et l’on trouvera, en faisant $bt+\beta =\zeta ,\ ct+\gamma =\xi ,\ldots ,$

$\omega ={\frac {\log \left(\mathrm {A} e^{\alpha {\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} e^{\zeta {\sqrt {-1}}}+\mathrm {C} e^{\xi {\sqrt {-1}}}+\ldots \right)}{2{\sqrt {-1}}}}$

$-{\frac {\log \left(\mathrm {A} e^{-\alpha {\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} e^{-\zeta {\sqrt {-1}}}-\mathrm {C} e^{-\xi {\sqrt {-1}}}-\ldots \right)}{2{\sqrt {-1}}}}\,;$

on réduira ces logarithmes en séries, en commençant par le terme dont le coefficient sera le plus grand, pour avoir des suites convergentes, et il n’y aura plus qu’à substituer les sinus à la place de leurs valeurs exponentielles imaginaires ; mais il faut remarquer qu’on n’aura de cette manière une série véritablement convergente dans tous les cas, à