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moins que le plus grand coefficient ne surpasse la somme de tous les autres pris positivement.

Supposons, par exemple, que $\mathrm {A}$ soit plus grand que la somme de $\mathrm {B,C} ,\ldots \,;$ alors on réduira le logarithme de

$\mathrm {A} e^{\alpha {\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} e^{\zeta {\sqrt {-1}}}+\mathrm {C} e^{\xi {\sqrt {-1}}}+\ldots$

dans la série

$\log \mathrm {A} +\alpha {\sqrt {-1}}+{\frac {\mathrm {B} e^{(\zeta -\alpha ){\sqrt {-1}}}+\mathrm {C} e^{(\xi -\alpha ){\sqrt {-1}}}+\ldots }{\mathrm {A} }}$

$-{\frac {\mathrm {B} ^{2}e^{2(\zeta -\alpha ){\sqrt {-1}}}+2\mathrm {BC} e^{(\zeta +\xi -2\alpha ){\sqrt {-1}}}+\mathrm {C} ^{2}e^{2(\xi -\alpha ){\sqrt {-1}}}+\ldots }{2\mathrm {A} ^{2}}}+\ldots \,;$

donc, changeant le signe de ${\sqrt {-1}}$ et prenant la différence des deux séries, on aura, après l’avoir divisée par $2{\sqrt {-1}},$ et y avoir substitué les sinus à la place des exponentielles, on aura, dis-je,

$\omega =\alpha +{\frac {\mathrm {B} \sin(\zeta -\alpha )+\mathrm {C} \sin(\xi -\alpha )+\ldots }{\mathrm {A} }}$

$-{\frac {\mathrm {B} ^{2}\sin 2(\zeta -\alpha )+2\mathrm {BC} \sin(\zeta +\xi -2\alpha )+\mathrm {C} ^{2}\sin 2(\xi -\alpha )+\ldots }{2\mathrm {A} ^{2}}}+\ldots .$

Cette série sera, comme il est facile de le voir, toujours convergente, et approchera d’autant plus de la vraie valeur de $\omega$ qu’on y prendra plus de termes ; d’où il s’ensuit que $\alpha$ sera la valeur moyenne de $\omega .$ En général, on peut conclure de là que, lorsque l’un des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ surpasse la somme des autres, la valeur moyenne de l’angle $\omega$ sera égale à l’angle même, dont le sinus et le cosinus seront multipliés par ce coefficient dans la valeur de $\operatorname {tang} \omega .$

38. Pour ce qui regarde la tangente $\theta$ de l’inclinaison de l’orbite, il est clair qu’elle sera toujours nécessairement renfermée dans de certaines limites, à moins que les racines $b,c,\ldots$ ne deviennent égales ou imaginaires (31, 32).

S’il n’y a que deux orbites mobiles, on aura

$\theta ={\sqrt {\mathrm {A^{2}+B^{2}+2AB} \cos(bt+\beta -\alpha )}}\,;$

et il est visible que les deux limites de $\theta$ seront $\mathrm {A+B}$ et $\mathrm {A-B} .$

En général, il est facile de voir que la valeur de $\theta$ sera toujours nécé-