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Dans ces équations, les quantités $s,u,s_{1},u_{1}$ sont déjà connues, ayant été déterminées dans l’Article précédent ainsi ces équations suffiront pour déterminer les six inconnues $s_{2},u_{2},s_{3},u_{3},s_{4},u_{4},$ dont les premières se rapportent à l’orbite de la Terre, les deux suivantes à l’orbite de Vénus et les deux dernières à celle de Mars.

Si, pour intégrer ces équations, on voulait employer la méthode générale de l’Article IV il faudrait les combiner avec les quatre de l’Article précédent, pour avoir autant d’équations que de variables $s,u,$ $s_{1},\ldots \,;$ mais cela allongerait inutilement le calcul, puisque les quatre premières de ces variables sont déjà connues c’est pourquoi il sera plus à propos de traiter ces équations à part.

On commencera donc par y substituer les valeurs de $s,u,s_{1},u_{1},$ déterminées dans l’Article précédent ; ensuite on remarquera qu’on peut satisfaire à ces équations, en faisant

${\begin{aligned}s_{2}\,=&\mathrm {A} \sin \alpha \,+\mathrm {B} _{2}\sin(bt+\beta )+\mathrm {C} _{2}\sin \,(ct+\gamma ),\\u_{2}=&\mathrm {A} \cos \alpha +\mathrm {B} _{2}\cos(bt+\beta )+\mathrm {C} _{2}\cos(ct+\gamma ),\\s_{3}\,=&\mathrm {A} \sin \alpha \,+\mathrm {B} _{3}\sin(bt+\beta )+\mathrm {C} _{3}\sin \,(ct+\gamma ),\\u_{3}=&\mathrm {A} \cos \alpha +\mathrm {B} _{3}\cos(bt+\beta )+\mathrm {C} _{3}\cos(ct+\gamma ),\\s_{4}\,=&\mathrm {A} \sin \alpha \,+\mathrm {B} _{4}\sin(bt+\beta )+\mathrm {C} _{4}\sin \,(ct+\gamma ),\\u_{4}=&\mathrm {A} \cos \alpha +\mathrm {B} _{4}\cos(bt+\beta )+\mathrm {C} _{4}\cos(ct+\gamma ),\end{aligned}}$

où $\mathrm {B_{2},B_{3},B_{4}\,;\ C_{2},C_{3},C_{4}} \,;\ c$ et $\gamma$ sont des quantités indéterminées.

Ces substitutions faites, on comparera les termes analogues, et, faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}(2)=&(2,0)+(2,1)+(2,3)+(2,4),\\(3)=&(3,0)+(3,1)+(3,2)+(3,4),\\(4)=&(4,0)+(4,1)+(4,2)+(4,3),\end{aligned}}$

on aura les équations de condition suivantes

${\begin{aligned}&\left[b+(2)\right]\mathrm {B_{2}-(2,0)B-(2,1)B_{1}-(2,3)B_{2}-(2,4)B_{3}} =0,\\&\left[b+(3)\right]\mathrm {B_{3}-(3,0)B-(3,1)B_{1}-(3,2)B_{2}-(3,4)B_{3}} =0,\\&[b+\left(4\right)]\ \mathrm {B_{4}-(4,0)B-(4,1)B_{1}-(4,2)B_{2}-(4,3)B_{3}} =0,\end{aligned}}$