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${\begin{aligned}&\left[c+(2)\right]\mathrm {C_{2}-(2,3)C_{3}-(2,4)C_{4}} =0,\\&\left[c+(3)\right]\mathrm {C_{3}-(3,2)C_{2}-(3,4)C_{4}} =0,\\&\left[c+(4)\right]\mathrm {C_{4}-(4,2)C_{2}-(4,3)C_{3}} =0.\end{aligned}}$

Comme les quantités $\mathrm {B,B_{1}}$ et $b$ ont déjà été déterminées dans l’Article précédent, il est clair que les trois premières des équations précédentes serviront à déterminer les trois quantités $\mathrm {B_{2},B_{3},B_{4}} \,;$ à l’égard des trois dernières, il est visible qu’en éliminant deux des trois quantités $\mathrm {C_{2},C_{3},}$ $\mathrm {C_{4}} ,$ la troisième s’en ira d’elle-même, et l’on aura une équation finale en $c,$ qui sera de cette forme

$\left[c+(2)\right]\left[c+(3)\right]\left[c+(4)\right]-(3,4)(4,3)\left[c+(2)\right]-(2,4)(4,2)\left[c+(3)\right]$

$-(2,3)(3,2)\left[c+(4)\right]-(2,3)(3,4)(4,2)-(3,2)(4,3)(2,4)=0.$

Ainsi il faudra déterminer, par cette équation, la quantité $c\,;$ ensuite on déterminera deux quelconques des trois quantités $\mathrm {C_{2},C_{3},C_{4}}$ par le moyen de deux des trois dernières équations ci-dessus, et la troisième de ces quantités demeurera indéterminée, ainsi que la quantité $\gamma .$

49. Je remarque maintenant que l’équation précédente en $c,$ étant du troisième degré, donnera trois valeurs différentes de $c,$ qui satisferont également aux équations différentielles proposées ; d’où, et de ce que ces équations sont simplement linéaires, il est facile de conclure que, si l’on désigne par $c,d,e$ les trois racines de l’équation dont il s’agit, et qu’on prenne six autres constantes $\mathrm {D_{2},D_{3},D_{4}}$ et $\mathrm {E_{2},E_{3},E_{4}} ,$ telles qu’il y ait entre les trois premières et la quantité $d,$ ainsi qu’entre les trois dernières et la quantité $e,$ la même relation que nous avons trouvée entre les constantes $\mathrm {C_{2},C_{3},C_{4}}$ et la quantité $c\,;$ qu’enfin on prenne encore deux autres indéterminées $\delta ,\varepsilon$ on en conclura, dis-je, que les valeurs complètes de $s_{2},u_{2}\,;\ s_{3},u_{3}\,;\ s_{4},u_{4}$ seront de la forme suivante

${\begin{aligned}s_{2}\,=\mathrm {A} \sin \alpha \,+\mathrm {B} _{2}\sin(bt+\beta )+\mathrm {C} _{2}\sin \,(ct+\gamma )&+\mathrm {D} _{2}\sin(dt+\delta )\\&+\mathrm {E} _{2}\sin \,(et+\varepsilon ),\\u_{2}=\mathrm {A} \cos \alpha +\mathrm {B} _{2}\cos(bt+\beta )+\mathrm {C} _{2}\cos(ct+\gamma )&+\mathrm {D} _{2}\cos(dt+\delta )\\&+\mathrm {E} _{2}\cos(et+\varepsilon ),\end{aligned}}$