Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/696

Pour Vénus.

${\begin{aligned}d\omega _{3}=&-4''{,}100\left[1-{\frac {\theta \ \ \cos(\omega _{3}-\omega \ \ )}{\theta _{3}}}\right]-0''{,}203\left[1-{\frac {\theta _{1}\cos(\omega _{3}-\omega _{1})}{\theta _{3}}}\right]\\&-6''{,}703\left[1-{\frac {\theta _{2}\cos(\omega _{3}-\omega _{2})}{\theta _{3}}}\right]-0''{,}515\left[1-{\frac {\theta _{4}\cos(\omega _{3}-\omega _{4})}{\theta _{3}}}\right]\\d\theta _{3}=&4''{,}100\theta \sin(\omega _{3}-\omega )+0''{,}203\theta _{1}\sin(\omega _{3}-\omega _{1})+6''{,}703\theta _{2}\sin(\omega _{3}-\omega _{2})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ +0''{,}515\theta _{4}\sin(\omega _{3}-\omega _{4})\,;\end{aligned}}$

Pour Mars.

${\begin{aligned}d\omega _{4}=&-14''{,}060\left[1-{\frac {\theta \ \ \cos(\omega _{4}-\omega \ \ )}{\theta _{4}}}\right]-0''{,}645\left[1-{\frac {\theta _{1}\cos(\omega _{4}-\omega _{1})}{\theta _{4}}}\right]\\&-\ \ 1''{,}773\left[1-{\frac {\theta _{2}\cos(\omega _{4}-\omega _{2})}{\theta _{4}}}\right]-1''{,}701\left[1-{\frac {\theta _{3}\cos(\omega _{4}-\omega _{3})}{\theta _{4}}}\right]\\d\theta _{4}=&14''{,}060\theta \sin(\omega _{4}-\omega )+0''{,}645\theta _{1}\sin(\omega _{4}-\omega _{1})+1''{,}773\theta _{2}\sin(\omega _{4}-\omega _{2})\\&\quad \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +1''{,}701\theta _{3}\sin(\omega _{4}-\omega _{3})\,;\end{aligned}}$

où $d\omega _{2},d\omega _{3},d\omega _{4}$ sont les mouvements annuels des nœuds par rapport aux étoiles fixes, et de $d\theta _{2},d\theta _{3},d\theta _{4}$ peuvent être prises sans erreur sensible pour les variations annuelles des inclinaisons des orbites à l’écliptique ; mais, pour pouvoir faire usage de ces formules, il faudra déterminer auparavant les valeurs des quantités $\omega ,\omega _{1},\ldots ,\theta ,\theta _{1},\ldots ,$ qui conviennent à l’année donnée, d’après les formules générales de cet Article et du précédent. Si l’on emploie celles qui répondent à l’époque de 1760, on aura pour l’orbite de Vénus

$d\omega _{3}=-9''{,}692,\quad d\theta _{3}=-0''{,}035,$

et pour celle de Mars

$d\omega _{4}=-8''{,}664,\quad d\theta _{4}=-0''{,}321.$

Quant à l’orbite de la Terre, nous remarquerons que, puisque $\theta _{2}=0$ pour 1760 (hypothèse), il faudra que, dans l’expression de $d\omega _{2},$ tous les termes divisés par $\theta _{2}$ soient aussi égaux à zéro, ce qui donne l’équation

$6'',874\theta \cos(\omega _{2}-\omega )+0'',334\theta _{1}\cos(\omega _{2}-\omega _{1})+6'',646\theta _{3}\cos(\omega _{2}-\omega _{3})$

$+0'',532\theta _{4}(\omega _{2}-\omega _{4})=0\,;$