Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/698

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

Article VIII. — Des équations séculaires du nœud et de L’inclinaison de l’orbite de Mercure.

53. Pour achever nos Recherches sur les dérangements causés dans les plans des orbites des planètes par leur action mutuelle, il ne reste plus qu’à examiner ceux qui doivent avoir lieu dans le plan de l’orbite de Mercure. Or, suivant nos dénominations, $\omega _{5}$ sera la longitude du nœud de cette orbite, et $\theta _{5}$ sera la tangente de son inclinaison ; de sorte que la question se réduira à déterminer les valeurs des quantités $s_{5}=\theta _{5}\sin \omega _{5},$ $u_{5}=\theta _{5}\cos \omega _{5},$ par l’intégration des équations différentielles d’où elles dépendent, et qui, selon l’ordre des équations (16), doivent être la neuvième et la dixième.

Ces équations seront donc

{\begin{aligned}{\frac {ds_{5}}{dt}}+(5,0)(u_{5}-u)&+(5,1)(u_{5}-u_{1})+(5,2)(u_{5}-u_{2})\\&+(5,3)(u_{5}-u_{3})+(5,4)(u_{5}-u_{4})=0,\\{\frac {du_{5}}{dt}}-(5,0)(s_{5}-s)&-(5,1)(s_{5}\,-s_{1})-(5,2)(s_{5}\,-s_{2})\\&-(5,3)(s_{5}\,-s_{3})-(5,4)(s_{5}\,-s_{4})=0,\end{aligned}}

lesquelles, en y substituant les valeurs des quantités $s,s_{1},\ldots ,u,u_{1},\ldots$ déjà trouvées dans les deux Articles précédents, et faisant, pour plus de simplicité,

{\begin{aligned}f\ =&-(5,0)-(5,1)-(5,2)-(5,3)-(5,4),\\\mathrm {M} =&\mathrm {(5,0)B\ \ +(5,1)B_{1}+(5,2)B_{2}+(5,3)B_{3}+(5,4)B_{4}} ,\\\mathrm {N} \,=&\mathrm {(5,2)C_{2}+(5,3)C_{3}+(5,4)C_{4}} ,\\\mathrm {P} \,=&\mathrm {(5,2)D_{2}+(5,3)D_{3}+(5,4)D_{4}} ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {(5,2)E_{2}+(5,3)E_{3}\,+(5,4)E_{4}} ,\end{aligned}}

se changent en celles-ci

{\begin{aligned}{\frac {ds_{5}}{dt}}-f(u_{5}-\mathrm {A} \cos \alpha )&-\mathrm {M} \cos(bt+\beta )-\mathrm {N} \cos(ct+\gamma )\\&-\mathrm {P} \ \cos(dt+\delta )-\mathrm {Q} \cos(et+\varepsilon )=0,\\{\frac {du_{5}}{dt}}+f(s_{5}-\mathrm {A} \sin \alpha )&+\mathrm {M} \sin(bt+\beta )+\mathrm {N} \,\sin(ct+\gamma )\\&+\mathrm {P} \ \sin(dt+\delta )+\mathrm {Q} \,\sin(et+\varepsilon )=0.\end{aligned}}