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III.

Les équations (A), (B), (C) donneront $r,\varphi$ et $p$ en $t,$ ce qui suffira pour laire connaître le lieu du satellite à chaque instant. Que si l’on voulait connaître la figure même de l’orbite qu’il décrit, il faudrait éliminer des équations (A), (C) l’élément $dt.$ Or de l’équation (B) on tire, après quelques réductions fort simples,

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {c^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{3}d\varphi }}}\,;$

donc, si l’on substitue cette valeur dans (A), (C), et qu’on fasse pour plus de simplicité ${\frac {1}{r}}=u,$ on aura, en prenant $d\varphi$ constant,

${\begin{array}{ll}(a)\qquad \qquad \qquad &{\cfrac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\cfrac {\mathrm {F} \left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}+\mathrm {R} r^{2}+\mathrm {Q} {\cfrac {rdr}{d\varphi }}}{c^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{3}d\varphi }}=0,\\\\(c)&{\cfrac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p+{\cfrac {r^{3}\left(\mathrm {P} -p\mathrm {R} +\mathrm {Q} {\cfrac {dp}{d\varphi }}\right)}{c^{2}+2\int \mathrm {\mathrm {Q} } r^{3}d\varphi }}=0.\end{array}}$

Supposons pour un moment que les forces perturbatrices $\mathrm {P,Q,R}$ soient nulles ; on aura par l’équation $(c)$

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p=0,$

dont l’intégrale est, comme on sait,

$p=\mathrm {G} \sin \varphi +\mathrm {H} \cos \varphi ,$

ou bien

$p=\lambda \sin(\varphi -\varepsilon ),$

$\lambda$ et $\varepsilon$ étant deux constantes arbitraires. Cette dernière expression de $p$ fait voir que l’orbite est toute dans un plan fixe, dont la position dépend des quantités $\lambda ,\varepsilon ,$ qui expriment, la première, la tangente de l’inclinaison, et la seconde, la longitude du nœud. Retenons maintenant cette