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Maintenant on sait que, si la force perpendiculaire $\mathrm {Q}$ était nulle, le rayon $r$ décrirait des aires proportionnelles aux temps, de sorte que l’on aurait, à cause de $dt$ constant,

$d({\frac {r^{2}d\varphi }{2}})=0\,;$

mais la force $\mathrm {Q}$ fait parcourir perpendiculairement à $r$ l’espace $\mathrm {Q} dt^{2}$ pendant le temps $dt\,;$ donc le secteur ${\frac {r^{2}d\varphi }{2}}$ croîtra pendant ce temps de la quantité ${\frac {\mathrm {Q} rdt^{2}}{2}}\,;$ par conséquent on aura l’équation

$d(r^{2}d\varphi )=\mathrm {Q} rdt^{2},$

dont l’intégrale, en ajoutant $cdt,$ est

$r^{2}d\varphi =cdt+dt\int \mathrm {Q} rdt\,;$

d’où l’on tire

(B)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c+\int \mathrm {Q} rdt}{r^{2}}}.$

Enfin on aura, en vertu de la force perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter,

$-{\frac {d^{2}(pr)}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} ,$

ou bien

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+{\frac {2dpdr}{rdt^{2}}}+{\frac {pd^{2}r}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} p}{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\mathrm {P} }{r}}=0,$

d’où, en mettant pour ${\frac {d^{2}r}{rdt^{2}}}$ sa valeur

${\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {F} }{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {\mathrm {R} }{r}}$

tirée de l’équation (A), et effaçant ce qui se détruit, on aura l’équation suivante

(C)

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+p{\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {2dpdr}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P-R} p}{r}}=0.$