Maintenant on sait que, si la force perpendiculaire
était nulle, le rayon
décrirait des aires proportionnelles aux temps, de sorte que l’on aurait, à cause de
constant,
![{\displaystyle d({\frac {r^{2}d\varphi }{2}})=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fee6d7e23ab8dce0d4db207c30b0c426b4f9550)
mais la force
fait parcourir perpendiculairement à
l’espace
pendant le temps
donc le secteur
croîtra pendant ce temps de la quantité
par conséquent on aura l’équation
![{\displaystyle d(r^{2}d\varphi )=\mathrm {Q} rdt^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7c2c4773589293060a2f93dcdd747ddc9fbdc6)
dont l’intégrale, en ajoutant
est
![{\displaystyle r^{2}d\varphi =cdt+dt\int \mathrm {Q} rdt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ef0d16185f034c20acffe2c8d72c7724a21d31)
d’où l’on tire
(B)
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Enfin on aura, en vertu de la force perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter,
![{\displaystyle -{\frac {d^{2}(pr)}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dedd5d74b66455acecaaaad6e5aede4a1ffb9c97)
ou bien
![{\displaystyle {\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+{\frac {2dpdr}{rdt^{2}}}+{\frac {pd^{2}r}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} p}{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\mathrm {P} }{r}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee01095d1ca3a40a1aa54601f92a633777dc6fb8)
d’où, en mettant pour
sa valeur
![{\displaystyle {\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {F} }{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {\mathrm {R} }{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c228a7e5bf1d90ed781a110240c33182210d0a)
tirée de l’équation (A), et effaçant ce qui se détruit, on aura l’équation suivante
(C)
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