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Qu’on ajoute maintenant ces trois équations ensemble, le second membre s’évanouit, et l’on a simplement

${\frac {dx}{da}}{\frac {d^{3}x}{dt^{2}db}}-{\frac {dx}{db}}{\frac {d^{3}x}{dt^{2}da}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {d^{3}y}{dt^{2}db}}-{\frac {dy}{db}}{\frac {d^{3}y}{dt^{2}da}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {d^{3}z}{dt^{2}db}}-{\frac {dz}{db}}{\frac {d^{3}z}{dt^{2}da}}=0.$

Comme il n’y a proprement que le $t$ de variable dans cette équation, elle est évidemment intégrable, et son intégrale est

${\frac {dx}{da}}{\frac {d^{2}x}{dtdb}}-{\frac {dx}{db}}{\frac {d^{2}x}{dtda}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {d^{2}y}{dtdb}}-{\frac {dy}{db}}{\frac {d^{2}y}{dtda}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {d^{2}z}{dtdb}}-{\frac {dz}{db}}{\frac {d^{2}z}{dtda}}=\mathrm {K} ,$

$\mathrm {K}$ étant une constante qui pourra être fonction des constantes $a,b,c,$ $f,g,h.$

Or il est visible que le premier membre de cette équation n’est autre chose que ce que nous avons représenté par

$(x,a,b)+(y,a,b)+(z,a,b)\,;$

ainsi la valeur de cette expression qui forme le coefficient de $db,$ dans la valeur de ${\frac {d\Omega }{da}}dt$ donnée ci-dessus (4), sera indépendante de $t$ et ne sera que fonction des six éléments $a,b,c,f,g,h\,;$ et, pour avoir cette fonction, il n’y aura qu’à rejeter tous les termes dépendants de $t$ dans l’expression dont il s’agit, après la substitution des valeurs de ${\frac {dx}{da}},{\frac {d^{2}x}{dtda}},{\frac {dx}{db}},\ldots ,$ déduites des valeurs elliptiques de $x,y,z.$

On trouvera par une analyse semblable, en faisant varier successivement les autres constantes $c,f,g,h$ des différences infiniment petites et constantes $\delta c,\delta f,\ldots ,$ et employant des réductions analogues, que la valeur de l’expression

$(x,a,c)+(y,a,c)+(z,a,c)$

sera indépendante de $t,$ ainsi que celle des autres expressions analogues qui forment les coefficients de $dc,df,\ldots$ dans la valeur de ${\frac {d\Omega }{da}}dt.$