Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/735

que j’ai donné en 1774, dans l’Article XII de la Pièce Sur l’équation séculaire de la Lune. [Voyez le tome VII des Savants étrangers^[1]].

8. Nous venons de montrer comment on peut obtenir les valeurs des différentielles de tous les éléments par les différences partielles de la fonction relatives à ces éléments. Mais, pour le grand axe, j’ai trouvé, il y a longtemps, que sa différentielle peut s’exprimer par la différence partielle de $\Omega$ relative au temps $t,$ en tant qu’il entre dans les valeurs elliptiques de $x,y,z.$ On parvient à ce résultat par la considération suivante.

Soit $\Phi =0$ une des intégrales des trois équations en $x,y,z$ dans les cas où les termes dépendant de $\Omega$ sont nuls ; la quantité $\Phi$ sera fonction de $x,y,z,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ et de $a,b,c,\ldots$ ou de quelques-unes de ces quantités seulement. En regardant $a,b,c,\ldots$ comme constantes, l’équation $d\Phi =0$ devient identique par la substitution des valeurs de $x,y,z$ en $t$ et en $a,b,c,\ldots$ mais en les regardant comme variables et dénotant par la caractéristique $\delta$ les différentielles relatives à ces variables, tandis que la caractéristique ordinaire $d$ se rapporte à la variable $t,$ la différentiation complète de $\Phi$ donnera l’équation $d\Phi +\delta \Phi =0\,:$ et comme $d\Phi$ est identiquement nul par l’hypothèse, on aura simplement $\delta \Phi =0.$ Or il est facile de voir que l’on a

${\begin{aligned}\delta \Phi ={\frac {d\Phi }{dx}}\delta x+{\frac {d\Phi }{dy}}\delta y+{\frac {d\Phi }{dz}}\delta z&+{\frac {d\Phi }{d{\cfrac {dx}{dt}}}}{\frac {\delta dx}{dt}}+{\frac {d\Phi }{d{\cfrac {dy}{dt}}}}{\frac {\delta dy}{dt}}+{\frac {d\Phi }{d{\cfrac {dz}{dt}}}}{\frac {\delta dz}{dt}}\\&+{\frac {d\Phi }{da}}da++{\frac {d\Phi }{db}}db+{\frac {d\Phi }{dc}}dc+\ldots .\end{aligned}}$

Mais on a vu au commencement (3) que les conditions de la variation des éléments sont

${\begin{alignedat}{3}\delta x=&0,&\delta y=&0,&\delta z=&0,\\{\frac {\delta dx}{dt}}=&{\frac {d\Omega }{dx}}dt,\qquad &{\frac {\delta dy}{dt}}=&{\frac {d\Omega }{dy}}dt,\qquad &{\frac {\delta dz}{dt}}=&{\frac {d\Omega }{dz}}dt\,;\end{alignedat}}$

1. Œuvres de Lagrange, t. VI, p. 348.