Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/736

donc on aura l’équation

$\left({\frac {d\Phi }{d{\cfrac {dx}{dt}}}}{\frac {d\Omega }{dx}}+{\frac {d\Phi }{d{\cfrac {dy}{dt}}}}{\frac {d\Omega }{dy}}+{\frac {d\Phi }{d{\cfrac {dz}{dt}}}}{\frac {d\Omega }{dz}}\right)dt+{\frac {d\Phi }{da}}da++{\frac {d\Phi }{db}}db+\ldots =0.$

Il s’ensuit de là que, si la fonction $\Phi$ ne contient qu’une seule des constantes arbitraires $a,b,\ldots ,$ on aura sur-le-champ par cette équation la valeur de $s$a différentielle dégagée de toutes les autres.

Ainsi, en prenant l’intégrale connue

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}-(1+m)\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{2a}}\right)=0,$

laquelle résulte immédiatement des trois équations fondamentales

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r^{3}}}x=0,\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r^{3}}}y=0,\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r^{3}}}z=0,\end{aligned}}$

multipliées respectivement par $dx,dy,dz,$ et ensuite ajoutées ensemble, et dans laquelle on démontre facilement que la constante arbitraire $2a$ représente le grand axe de l’ellipse, la formule précédente donne tout de suite

${\frac {d\Omega }{dx}}dx+{\frac {d\Omega }{dy}}dy+{\frac {d\Omega }{dz}}dz+(1+m)d{\frac {1}{2a}}=0\,;$

et, comme ici les différentielles $dx,dy,dz$ se rapportent uniquement à $t,$ il est clair que cette équation peut être représentée plus simplement par

${\frac {d\Omega }{ndt}}ndt+(1+m)d{\frac {1}{2a}}=0,$

de sorte qu’on aura

$da={\frac {2a^{2}}{1+m}}{\frac {d\Omega }{ndt}}ndt.$