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12. Si maintenant, dans les expressions données ci-dessus des différentielles $d\Delta a,d\Delta b,\ldots ,$ on substitue la valeur de $\Omega$n série de sinus et cosinus, on aura des termes de la forme

$\left(\mathrm {L} \sin \mathrm {N} t+\mathrm {M} \cos \mathrm {N} t\right)dt,$

qu’on peut réduire à

$\mathrm {P} \sin(\mathrm {N} t+p)dt,$

dans lesquels $\mathrm {N} =in+i'n'+i''n''+\ldots ,$ en donnant à $i,i',\ldots$ toutes les valeurs entières y compris zéro.

Soit donc

$\mathrm {P} \sin(\mathrm {N} t+p)$

un terme quelconque de $d\Delta a,$ la valeur de $\Delta a$ aura le terme correspondant

$-{\frac {\mathrm {P} \cos(\mathrm {N} t+p)}{\mathrm {N} }}.$

Il y aura de pareils termes dans les valeurs de $d\Delta b$ et $\Delta b,$ et il est facile de voir que la formule $\Delta a\,d\Delta b-\Delta b\,d\Delta a$ ne pourra donner de termes sans $t$ dans la différentielle partielle de $\Omega ,$ à moins qu’on ne combine ensemble les termes de $d\Delta a$ et de $d\Delta b$ qui ont le même argument $\mathrm {N} t.$ Ainsi l’on prendra pour $d\Delta b$ et $\Delta b$ les termes

$\mathrm {Q} \sin(\mathrm {N} t+q)dt\quad {\text{et}}\quad -{\frac {\mathrm {Q} \cos(\mathrm {N} t+q)}{\mathrm {N} }}.$

Substituons ces termes dans l’expression

$\left[\Delta a{\frac {d(d\Delta b)}{ndt}}-\Delta b{\frac {d(d\Delta a)}{ndt}}\right]ndt,$

elle deviendra

$-\mathrm {\frac {PQ}{N}} \left[\cos(\mathrm {N} t+p)(\mathrm {N} t+q)-\cos(\mathrm {N} t+q)(\mathrm {N} t+p)\right]ndt,$

qui est évidemment nulle.

Donc l’expression dont il s’agit et toutes les expressions semblables