Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/745

Ces équations sont, comme l’on voit, toutes semblables pour les différentes planètes, et en même temps semblables à celles où les coordonnées sont rapportées au Soleil ; mais la fonction $\Omega$ est ici la même pour toutes les planètes, parce qu’elle est symétrique par rapport aux coordonnées $x,y,z,x',y',z',\ldots .$

J’avais donné ces équations relatives au centre de gravité sous une forme un peu différente, mais qui est la même pour le fond, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin de 1777^[1], et j’en avais déduit différents Théorèmes relatifs aux centres de gravité des planètes.

Il est bon de remarquer, à l’égard de la fonction $\Omega ,$ qu’elle n’est composée que de termes du second ordre relativement aux masses $m,m',m'',\ldots \,;$ car les quantités qui, dans cette fonction, ne sont multipliées que par $m,m',m'',\ldots ,$ sont déjà elles-mêmes du premier ordre, à cause que les $\mathrm {X,Y,Z}$ sont du premier ordre, comme on le voit par les trois équations finies du centre de gravité. Ainsi les différences partielles

${\frac {d\Omega }{d\mathrm {X} }},\ \ {\frac {d\Omega }{d\mathrm {Y} }},\ \ {\frac {d\Omega }{d\mathrm {Z} }},\ \ {\frac {d\Omega }{mdx}},\ \ {\frac {d\Omega }{mdy}},\ \ {\frac {d\Omega }{mdz}},\ldots ,$

qui forment les seconds membres des équations différentielles, seront toutes très-petites du premier ordre, relativement aux masses $m,m',\ldots$

On pourra donc traiter ces équations comme nous avons fait à l’égard de celles qui se rapportent au centre du Soleil, et en tirer des résultats semblables.

15. Comme les quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ sont du premier ordre relativement aux masses $m,m',\ldots ,$ on pourra les négliger dans la valeur de ${\frac {d\Omega }{ndt}}$ de la première approximation dans laquelle, en supposant les éléments constants, on néglige leurs variations, qui sont aussi du premier ordre.

Dans la seconde approximation, comme les différentes parties de $\Delta \Omega$ relatives aux variations des éléments des planètes $m,m',m'',\ldots$ sont

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 401.