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on a, en général,

${\begin{aligned}x=&\mathrm {\xi 'X+\xi ''Y+\xi '''Z} ,\\y=&\mathrm {\eta 'X+\eta ''Y+\eta '''Z} ,\\z=&\mathrm {\zeta 'X+\zeta ''Y+\zeta '''Z} ,\end{aligned}}$

les neuf coefficients $\xi ',\xi '',\xi ''',\eta ',\eta '',\eta ''',\zeta ',\zeta '',\zeta '''$ devant satisfaire aux six équations de condition

${\begin{alignedat}{2}\xi '^{2}\ +\eta '^{2}\ \,+\zeta '^{2}\ \ =&1,&\xi '\xi ''\ +\eta '\eta ''\,\ +\zeta '\zeta ''\ \ =&0,\\\xi ''^{2}\,+\eta ''^{2}\ +\zeta ''^{2}\ =&1,&\xi '\xi '''\,+\eta '\eta '''\ +\zeta '\zeta '''\ =&0,\\\xi '''^{2}+\eta '''^{2}+\zeta '''^{2}=&1,\qquad &\xi ''\xi '''+\eta ''\eta '''+\zeta ''\zeta '''=&0,\end{alignedat}}$

qui résultent de ce que par la nature de la question on doit avoir identiquement

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} .$

Il ne reste ainsi que trois indéterminées qui tiendront lieu des trois constantes arbitraires ou éléments $f,g,h.$

J’adopte ici les lettres $\xi ',\xi '',\xi ''',\eta ',\ldots$ pour représenter les coefficients de $\mathrm {X,Y,Z} ,$ afin de me conformer aux formules que j’ai employées dans la sixième Section de la seconde Partie de la Mécanique analytique^[1], et de pouvoir profiter des différentes réductions que j’ai données relativement à ces quantités.

Nous allons substituer ces valeurs de $x,y,z$ dans les expressions générales des symboles $(a,b),(a,c),\ldots ,$ en observant que les constantes $a,b,c,$ ainsi que le temps $t,$ n’entrent que dans les valeurs des trois quantités $\mathrm {X,Y,Z} ,$ et que les trois autres constantes $f,g,h$ ne sont censées entrer que dans celles des coefficients $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots .$

Ces substitutions, qui paraissent devoir être très-compliquées, se simplifient d’une manière étonnante par le moyen des équations de condition

1. C’est à la première édition de la Mécanique analytique, publiée en 1788, que se rapportent la présente citation de l’Auteur et celles qu’on remarquera dans les numéros suivants.
   (Note de l’Éditeur.)