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données ci-dessus. En effet on voit tout de suite que la quantité

${\frac {dx}{da}}{\frac {d^{2}x}{dt\,db}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {d^{2}y}{dt\,db}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {d^{2}z}{dt\,db}}$

devient

${\frac {d\mathrm {X} }{da}}{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt\,db}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt\,db}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt\,db}}.$

De même la quantité

${\frac {dx}{db}}{\frac {d^{2}x}{dt\,da}}+{\frac {dy}{db}}{\frac {d^{2}y}{dt\,da}}+{\frac {dz}{db}}{\frac {d^{2}z}{dt\,da}}$

se réduit à

${\frac {d\mathrm {X} }{db}}{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt\,da}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{db}}{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt\,da}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt\,da}}.$

D’où il suit que la quantité $(a,b),$ qui est la différence de ces deux-ci, sera exprimée de la même manière par les coordonnées $x,y,z$ que par les coordonnées primitives $\mathrm {X,Y,Z} .$ Il en sera de même, et par la même raison, des quantités $(a,c)$ et $(b,c).$ Ces trois quantités auront donc les mêmes valeurs que nous avons trouvées ci-dessus (19), et par conséquent on aura, en général, quelle que soit la position de l’orbite elliptique par rapport au plan fixe,

$(a,b)=0,\quad (a,c)=-{\frac {na}{2}},\quad (b,c)=0.$

21. Passons aux quantités représentées par les symboles $(a,f),(a,g),$ $(a,h),(b,f),\ldots .$ Ici les quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ ne varient que par rapport à $a,b,c,t$ dont elles sont fonctions, et les variations relatives à $f,g,h$ ne regardent que les coefficients $\xi ',\xi '',\xi ''',\eta ',\ldots .$ D’après cette considération, si l’on fait les substitutions des valeurs de $x,y,z$ et de leurs différences partielles dans la fonction

${\frac {dx}{da}}{\frac {d^{2}x}{dt\,df}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {d^{2}y}{dt\,df}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {d^{2}z}{dt\,df}},$