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la fonction dont il s’agit se réduira à cette forme simple

${\frac {d\mathrm {R} }{df}}\left({\frac {d\mathrm {X} }{dt}}{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}-{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}{\frac {d\mathrm {X} }{da}}\right)-{\frac {d\mathrm {Q} }{df}}\left({\frac {d\mathrm {X} }{dt}}{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}-{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}{\frac {d\mathrm {X} }{da}}\right)+{\frac {d\mathrm {P} }{df}}\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}{\frac {d\mathrm {Z} }{da}}-{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}\right).$

On trouvera de la même manière que la fonction

${\frac {dx}{df}}{\frac {d^{2}x}{dt\,da}}+{\frac {dy}{df}}{\frac {d^{2}y}{dt\,da}}+{\frac {dz}{df}}{\frac {d^{2}z}{dt\,da}}$

se réduit à cette forme

${\frac {d\mathrm {R} }{df}}\left(\mathrm {X} {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt\,da}}-\mathrm {Y} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt\,da}}\right)-{\frac {d\mathrm {Q} }{df}}\left(\mathrm {X} {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt\,da}}-\mathrm {Z} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt\,da}}\right)+{\frac {d\mathrm {P} }{df}}\left(\mathrm {Y} {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt\,da}}-\mathrm {Z} {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt\,da}}\right).$

En retranchant cette dernière quantité de la précédente, on aura la valeur de $(a,f),$ et il est visible qu’elle se réduira à cette forme

$(a,f)={\frac {d\mathrm {R} }{df}}{\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {Y} d\mathrm {X} -\mathrm {X} d\mathrm {Y} }{dt}}\right)}{da}}-{\frac {d\mathrm {Q} }{df}}{\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {Z} d\mathrm {X} -\mathrm {X} d\mathrm {Z} }{dt}}\right)}{da}}+{\frac {d\mathrm {P} }{df}}{\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {Z} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }{dt}}\right)}{da}}.$

Or les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ (20) donnent

$\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} =a^{2}{\sqrt {1-b^{2}}}(1+b\cos u)du,$

et comme ${\frac {du}{dt}}={\frac {n}{1+b\cos u}}$ (19), on aura

${\frac {\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} }{dt}}=na^{2}{\sqrt {1-b^{2}}}.$

Donc, puisque $\mathrm {Z} =0,$ on aura simplement

$(a,f)=-{\frac {d\mathrm {R} }{df}}{\frac {d\left(na^{2}{\sqrt {1-b^{2}}}\right)}{da}}.$

En changeant successivement $a$ en $b,$ en $c,$ et $f$ en $g,$ en $h,$ on aura les