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valeurs des autres quantités représentées par $(b,f),(c,f),(a,g),\ldots .$ J’aurais pu supposer tout de suite $\mathrm {Z} =0,$ ce qui aurait simplifié le calcul ; mais j’ai été bien aise de donner ces formules dans toute leur généralité, parce qu’elles pourront peut-être servir dans d’autres occasions.

22. Il ne reste plus qu’à chercher les valeurs des quantités représentées par $(f,g),(f,h),(g,h).$

En faisant les mêmes substitutions dans la fonction

$(f,g)={\frac {dx}{df}}{\frac {d^{2}x}{dt\,dg}}+{\frac {dy}{df}}{\frac {d^{2}y}{dt\,dg}}+{\frac {dz}{df}}{\frac {d^{2}z}{dt\,dg}}-{\frac {dx}{dg}}{\frac {d^{2}x}{dt\,df}}-{\frac {dy}{dg}}{\frac {d^{2}y}{dt\,df}}-{\frac {dz}{dg}}{\frac {d^{2}z}{dt\,df}},$

et observant que le $t$ ne varie que dans $\mathrm {X,Y,Z} ,$ et que $f,g$ ne varient que dans les coefficients $\xi ',\eta ',\zeta ',\xi '',\ldots ,$ on aura tout de suite

$(f,g)=\mathrm {F} {\frac {\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} }{dt}}+\mathrm {G} {\frac {\mathrm {X} d\mathrm {Z} -\mathrm {Z} d\mathrm {X} }{dt}}+\mathrm {H} {\frac {\mathrm {Y} d\mathrm {Z} -\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }{dt}},$

en supposant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{7}\mathrm {F} =&{\frac {d\xi '}{df}}{\frac {d\xi ''}{dg}}&+&{\frac {d\eta '}{df}}{\frac {d\eta ''}{dg}}&+&{\frac {d\zeta '}{df}}{\frac {d\zeta ''}{dg}}&-&{\frac {d\xi '}{dg}}{\frac {d\xi ''}{df}}&-&{\frac {d\eta '}{dg}}{\frac {d\eta ''}{df}}&-&{\frac {d\zeta '}{dg}}{\frac {d\zeta ''}{df}},\\\mathrm {G} =&{\frac {d\xi '}{df}}{\frac {d\xi '''}{dg}}&+&{\frac {d\eta '}{df}}{\frac {d\eta '''}{dg}}&+&{\frac {d\zeta '}{df}}{\frac {d\zeta '''}{dg}}&-&{\frac {d\xi '}{dg}}{\frac {d\xi '''}{df}}&-&{\frac {d\eta '}{dg}}{\frac {d\eta '''}{df}}&-&{\frac {d\zeta '}{dg}}{\frac {d\zeta '''}{df}},\\\mathrm {H} =&{\frac {d\xi ''}{df}}{\frac {d\xi '''}{dg}}&+&{\frac {d\eta ''}{df}}{\frac {d\eta '''}{dg}}&+&{\frac {d\zeta ''}{df}}{\frac {d\zeta '''}{dg}}&-&{\frac {d\xi ''}{dg}}{\frac {d\xi '''}{df}}&-&{\frac {d\eta ''}{dg}}{\frac {d\eta '''}{df}}&-&{\frac {d\zeta ''}{dg}}{\frac {d\zeta '''}{df}}.\end{alignedat}}$

Or, dans le n^o 27 de la Section déjà citée de la Mécanique analytique^[1], j’ai trouvé ces réductions

${\begin{alignedat}{3}d\xi '\ &=&\xi ''d\mathrm {R} &-&\xi '''d\mathrm {Q} ,\\d\xi ''\,&=&\xi '''d\mathrm {P} &-&\xi '\ d\mathrm {R} ,\\d\xi '''&=&\xi 'd\mathrm {Q} &-&\xi ''\,d\mathrm {P} ,\end{alignedat}}$

et de même, en changent $\xi$ en $\eta$ et en $\zeta .$

1. Dans la deuxième édition, seconde Partie, Section IX, n^o 13.$\qquad$(Note de l’Éditeur.)