Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/76

Cette substitution faite, on divisera toute l’équation par $na,$ et l’on aura, en mettant pour plus de simplicité $f$ au lieu de ${\frac {\mathrm {F} }{a^{3}}},$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-(2f+\mu ^{2})x-2\mu {\frac {dy}{dt}}+f\mathrm {X} +nf\left(3x^{2}-{\frac {3}{2}}z^{2}\right)-2n\mu x{\frac {dy}{dt}}-n{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}=0.$

VI.

L’équation (B) deviendra, par les mêmes substitutions,

$\mu +n{\frac {dy}{dt}}=\left[{\frac {c}{a^{2}}}+{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{a}}\right]\left(1-2nx+3n^{2}x^{2}\right).$

Si $n$ était $=0,$ on aurait

$\int \mathrm {Q} dt=a\mu -{\frac {c}{a}}\,;$

supposons donc

$\int \mathrm {Q} (1+nx)dt=a\mu -{\frac {c}{a}}+n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Y} \,;$

on aura, après les réductions,

${\frac {dy}{dt}}=-2\mu x+f\mathrm {Y} +3n\mu x^{2}-2nfx\mathrm {Y} .$

VII.

Enfin l’équation (C) se changera en celle-ci

$n{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+nz\left(\mu ^{2}+2n\mu {\frac {dy}{dt}}\right)+2n^{2}{\frac {dzdx}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{a(1+nx)}}=0\,;$

et l’on prouvera ici, comme on a fait ci-dessus, qu’il faut que la quantité $\mathrm {P}$ soit très-petite de l’ordre $n\,;$ c’est pourquoi nous supposerons

${\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{1+nx}}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Z} ,$

d’où nous aurons l’équation

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mu ^{2}z+f\mathrm {Z} +2n\mu z{\frac {dy}{dt}}+2n{\frac {dzdx}{dt^{2}}}=0.$