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changeant $\varphi ,\psi ,\omega$ en $f,g,h,$ deviennent

${\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\sin f\sin h\,dg+\cos f\,dh,\\d\mathrm {Q} =&\cos f\sin h\,dg-\sin f\,dh,\\d\mathrm {R} =&df+\cos h\,dg.\end{aligned}}$

De là on aura tout de suite

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\mathrm {P} }{df}}=&0,&{\frac {d\mathrm {Q} }{df}}=&0,&{\frac {d\mathrm {R} }{df}}=&1,\\{\frac {d\mathrm {P} }{dg}}=&\sin f\sin h,\qquad &{\frac {d\mathrm {Q} }{dg}}=&\cos f\sin h,\qquad &{\frac {d\mathrm {R} }{dg}}=&\cos h,\\{\frac {d\mathrm {P} }{dh}}=&\cos f,&{\frac {d\mathrm {Q} }{dh}}=&-\sin f,&{\frac {d\mathrm {R} }{dh}}=&0.\end{alignedat}}$

Substituant ces valeurs dans les formules du n^o 19, et exécutant les différentiations partielles relatives à $a,b,c,$ on aura, à cause de ${\frac {d.na^{2}}{da}}=2na+a^{2}{\frac {dn}{da}}={\frac {na}{2}}$ (19),

${\begin{alignedat}{3}(a,f)=&-{\frac {na{\sqrt {1-b^{2}}}}{2}},\quad &(a,g)=&-{\frac {na{\sqrt {1-b^{2}}}}{2}}\cos h,\quad &(a,h)=&0,\\(b,f)=&{\frac {na^{2}b}{\sqrt {1-b^{2}}}},&(b,g)=&{\frac {na^{2}b}{\sqrt {1-b^{2}}}}\cos h,&(b,h)=&0,\\(c,f)=&0,&(c,g)=&0,&(c,h)=&0.\end{alignedat}}$

Ensuite les mêmes valeurs, substituées dans les formules du n^o 22, donneront

$(f,g)=0,\quad (f,h)=0,\quad (g,h)=-na^{2}{\sqrt {1-b^{2}}}\sin h.$

En joignant à ces valeurs celles de $(a,b),(a,c),(b,c),$ trouvées dans le n^o 20, savoir

$(a,b)=0,\quad (a,c)=-{\frac {na}{2}},\quad (b,c)=0,$

on aura les valeurs des quinze symboles que nous avons employés.