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En faisant ces substitutions dans les expressions précédentes des $\mathrm {F,G,H} ,$ et ayant égard aux équations de condition entre $\xi ',\xi '',\xi ''',\eta ',\ldots ,$ on trouve facilement

${\begin{aligned}\mathrm {F} =&{\frac {d\mathrm {P} }{df}}{\frac {d\mathrm {Q} }{dg}}-{\frac {d\mathrm {P} }{dg}}{\frac {d\mathrm {Q} }{df}},\\\mathrm {G} =&{\frac {d\mathrm {P} }{df}}{\frac {d\mathrm {R} }{dg}}-{\frac {d\mathrm {P} }{dg}}{\frac {d\mathrm {R} }{df}},\\\mathrm {H} =&{\frac {d\mathrm {Q} }{df}}{\frac {d\mathrm {R} }{dg}}-{\frac {d\mathrm {Q} }{dg}}{\frac {d\mathrm {R} }{df}}.\end{aligned}}$

Or on a déjà trouvé

${\frac {\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} }{dt}}=na^{2}{\sqrt {1-b^{2}}}\,;$

donc, comme $\mathrm {Z} =0,$ on aura

$(f,g)=\left({\frac {d\mathrm {P} }{df}}{\frac {d\mathrm {Q} }{dg}}-{\frac {d\mathrm {P} }{dg}}{\frac {d\mathrm {Q} }{df}}\right)na^{2}{\sqrt {1-b^{2}}},$

et, changeant $g$ en $h,$ on aura la valeur de $(f,h),$ et changeant à la fois $f$ en $g,$ $g$ en $h,$ on aura celle de $(g,h).$ Ainsi on connaîtra les valeurs de tous les coefficients des variations $da,db,\ldots$ dans les formules du n^o 6.

23. Particularisons maintenant les constantes $f,g,h,$ qui sont encore indéterminées. Pour les adapter aux usages astronomiques, nous supposerons que $f$ soit l’angle que le grand axe de l’orbite fait avec la ligne des nœuds, c’est-à-dire, avec l’intersection de son plan avec le plan fixe des $x$ et $y\,;$ que $g$ soit l’angle que la ligne des nœuds fait avec l’axe des $x,$ et que $h$ soit l’inclinaison du plan de l’orbite sur le même plan fixe. D’après ces suppositions, on trouvera facilement les expressions de $\xi ',\xi '',\ldots$ en sinus et cosinus des trois angles $f,g,h\,;$ nous les avons données dans le n^o 30 de la Section citée de la Mécanique analytique, où les angles \varphi,\psi,\omega répondent à $f,g,h.$ Mais nous n’aurons pas même besoin de ces expressions ; il nous suffira d’avoir celles de $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R} ,$ que nous avons données dans le n^o 31 de la même Section^[1], et qui, en y

1. Dans la deuxième édition, seconde Partie, Section IX, n^o 11.$\quad$(Note de l’Éditeur.)