Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/768

auxquelles on ajoutera ces deux-ci

${\begin{aligned}{\frac {da}{dt}}=&\quad \ {\frac {2}{na}}{\frac {d\Omega }{dc}},\\{\frac {dc}{dt}}=&-{\frac {2}{na}}{\frac {d\Omega }{da}}-{\frac {1-b^{2}}{na^{2}b^{2}}}\left(\beta {\frac {d\Omega }{d\beta }}+\gamma {\frac {d\Omega }{d\gamma }}\right).\end{aligned}}$

On voit que ces formules représentent les six variations sous une forme très-simple et en même temps symétrique. On y serait parvenu directement si l’on avait donné d’abord aux quantités $b,f,g,h$ la signification des lettres $\beta ,\gamma ,\alpha ,\lambda .$

À l’égard de l’intégrale $\int \cos hdg,$ qui entre dans la valeur de $f$ par l’introduction de l’angle $\varphi$ (26), si l’on substitue pour $\cos h$ la vaieur équivalente $1-{\frac {\sin ^{2}h}{1+\cos h}},$ elle deviendra

$g-\int {\frac {\sin ^{2}h}{1+\cos h}}dg.$

Or

$\sin ^{2}h=\varepsilon ^{2}+\lambda ^{2},\quad \operatorname {tang} g={\frac {\varepsilon }{\lambda }},$

donc

$dg={\frac {\lambda \,d\varepsilon -\varepsilon \,d\lambda }{\varepsilon ^{2}+\lambda ^{2}}},$

donc

$\int {\frac {\sin ^{2}h}{1+\cos h}}dg=\int {\frac {\lambda \,d\varepsilon -\varepsilon \,d\lambda }{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}-\lambda ^{2}}}}}.$

et, comme $\varepsilon$ et $\lambda$ ne sont exprimées qu’en sinus et cosinus d’angles, on pourra réduire en séries les sinus et cosinus de cette intégrale dans les valeurs de $\sin f$ et $\cos f.$

En désignant cette intégrale par $\Pi ,$ on aura

$f=\varphi -g+\Pi \,;\quad {\text{donc}}\quad \varphi =f+g-\Pi ,$

où l’on remarquera que $f+g$ est ce que les Astronomes nomment la longitude de l’aphélie dans l’orbite.

Les formules précédentes sont surtout utiles lorsque les excentricités