et les inclinaisons sont des quantités assez petites, comme cela a lieu dans notre Système planétaire. En général, il est visible que les quantités
seront dans tous les cas des fractions moindres que l’unité, et que par conséquent la fonction
pourra toujours être développée en une série convergente relativement à ces quantités.
28. Pour appliquer ces équations aux variations séculaires, il n’y aura qu’à substituer, au lieu de
la partie non périodique de cette équation. Soit
cette partie, c’est-à-dire, le premier terme du développement de
en série de sinus et cosinus des anomalies moyennes
des planètes
car, comme
n’est fonction que de
et que ces coordonnées sont données par des sinus et cosinus des angles respectifs
lesquels dépendent des angles
(18), il est clair que le développement de
ne contiendra que les sinus et cosinus de ces derniers angles multipliés par des fonctions des éléments
Ainsi
sera une pareille fonction, et l’on aura
de sorte que les quatre premières équations se réduiront à celles-ci, dans lesquelles j’ai substitué pour
et
leurs valeurs en
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {d\beta }{dt}}=&{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}{na^{2}}}{\frac {d\mathrm {A} }{d\gamma }},&{\frac {d\gamma }{dt}}=&-{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}{na^{2}}}{\frac {d\mathrm {A} }{d\beta }},\\{\frac {d\varepsilon }{dt}}=&{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}-\lambda ^{2}}}{na^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}}}{\frac {d\mathrm {A} }{d\lambda }},\qquad &{\frac {d\lambda }{dt}}=&-{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}-\lambda ^{2}}}{na^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}}}{\frac {d\mathrm {A} }{d\varepsilon }},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c34dfef791a7513321d56afc16b4d047b06d57)
lesquelles serviront à déterminer les variations séculaires de l’excentricité, de l’aphélie, du nœud et de l’inclinaison.
Lorsqu’on regarde les excentricités et les inclinaisons des orbites comme très-petites, les variables,
deviennent très-petites, ainsi que leurs analogues
On peut alors réduire la fonction
en une série ascendante par rapport à ces quantités ; et, si l’on s’arrête aux secondes dimensions, ce qui suffit pour la première approximation, on aura des équations linéaires semblables à celles dont j’ai donné l’in-