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et les inclinaisons sont des quantités assez petites, comme cela a lieu dans notre Système planétaire. En général, il est visible que les quantités $\beta ,\gamma ,\varepsilon ,\lambda$ seront dans tous les cas des fractions moindres que l’unité, et que par conséquent la fonction $\Omega$ pourra toujours être développée en une série convergente relativement à ces quantités.

28. Pour appliquer ces équations aux variations séculaires, il n’y aura qu’à substituer, au lieu de $\Omega ,$ la partie non périodique de cette équation. Soit $\mathrm {A}$ cette partie, c’est-à-dire, le premier terme du développement de $\Omega$ en série de sinus et cosinus des anomalies moyennes $nt+c,n't+c',\ldots$ des planètes $m,m',\ldots \,;$ car, comme $\Omega$ n’est fonction que de $x,y,z,x',y',z',\ldots$ et que ces coordonnées sont données par des sinus et cosinus des angles respectifs $u,u',\ldots ,$ lesquels dépendent des angles $nt+c,n't+c',\ldots$ (18), il est clair que le développement de $\Omega$ ne contiendra que les sinus et cosinus de ces derniers angles multipliés par des fonctions des éléments $a,b,f,g,h,a',b',f',g',h',\ldots .$ Ainsi $\mathrm {A}$ sera une pareille fonction, et l’on aura ${\frac {d\mathrm {A} }{dc}}=0\,;$ de sorte que les quatre premières équations se réduiront à celles-ci, dans lesquelles j’ai substitué pour $b$ et $\cos h$ leurs valeurs en $\beta ,\gamma ,\varepsilon ,\lambda .$

${\begin{alignedat}{2}{\frac {d\beta }{dt}}=&{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}{na^{2}}}{\frac {d\mathrm {A} }{d\gamma }},&{\frac {d\gamma }{dt}}=&-{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}{na^{2}}}{\frac {d\mathrm {A} }{d\beta }},\\{\frac {d\varepsilon }{dt}}=&{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}-\lambda ^{2}}}{na^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}}}{\frac {d\mathrm {A} }{d\lambda }},\qquad &{\frac {d\lambda }{dt}}=&-{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}-\lambda ^{2}}}{na^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}}}{\frac {d\mathrm {A} }{d\varepsilon }},\end{alignedat}}$

lesquelles serviront à déterminer les variations séculaires de l’excentricité, de l’aphélie, du nœud et de l’inclinaison.

Lorsqu’on regarde les excentricités et les inclinaisons des orbites comme très-petites, les variables, $\beta ,\gamma ,\varepsilon ,\lambda ,\ldots$ deviennent très-petites, ainsi que leurs analogues $\beta ',\gamma ',\varepsilon ',\lambda ',\ldots .$ On peut alors réduire la fonction $\mathrm {A}$ en une série ascendante par rapport à ces quantités ; et, si l’on s’arrête aux secondes dimensions, ce qui suffit pour la première approximation, on aura des équations linéaires semblables à celles dont j’ai donné l’in-