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$\delta b,\delta c,\ldots$ infiniment petits et constants, c’est-à-dire, indépendants de $t,$ les équations différentielles qui en résulteront seront encore satisfaites par les mêmes valeurs de $r,s,u$ et de leurs différences.

Désignons de nouveau par la caractéristique $\delta$ les différentielles de $r,s,u,$ $r',s',u'$ qui résultent des accroissements $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta h$ attribués aux constantes $a,b,c,f,g,h\,;$ il est clair que, puisque $\mathrm {R}$ est une fonction de $r,s,u$ et de $r',s',u',$ on aura, par l’algorithme des différences partielles, ces différences relatives à $\delta$

${\begin{alignedat}{6}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}\delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds}}\delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du}}\delta u&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drdr'}}\delta r'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}\delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}\delta u',\\\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drdr'}}\delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}\delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}\delta u&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\delta r'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'\,ds'}}\delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'\,du'}}\delta u'.\end{alignedat}}$

Donc la première équation, différentiée suivant $\delta ,$ donnera

${\begin{aligned}d&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drdr'}}\delta r+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}\delta s+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}\delta u+\ {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\ \delta r'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'\,ds'}}\delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'\,du'}}\delta u'\right)\\-&\left(\ {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}\ \delta r+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds}}\,\delta s+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du}}\,\delta u+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drdr'}}\delta r'+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}\,\delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}\delta u'\right)dt=0.\end{aligned}}$

De même la deuxième et la troisième donneront ces deux-ci

${\begin{aligned}d&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}\delta r+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,ds'}}\delta s+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}\delta u+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\delta r'+\ \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}\ \delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'\,du'}}\delta u'\right)\\-&\left(\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds}}\,\delta r+\ \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds^{2}}}\ \,\delta s+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du}}\,\delta u+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}\delta r'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,ds'}}\delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}\delta u'\right)dt=0,\\\\d&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}\delta r+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}\delta s+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,du'}}\delta u+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\delta r'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}\delta s'+\ \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}\ \,\delta u'\right)\\-&\left(\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du}}\,\delta r+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du}}\,\delta s+\ \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du^{2}}}\ \,\delta u+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}\,\delta r'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}\delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,du'}}\delta u'\right)dt=0.\end{aligned}}$

12. Si, au lieu des accroissements $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta h,$ on attribue aux mêmes constantes $a,b,c,f,g,h$ d’autres accroissements infiniment petits et constants que nous désignerons par $\Delta a,\Delta b,\Delta c,\Delta f,\Delta g,\Delta h,$ et qu’on dénote par la caractéristique $\Delta$ les différences des fonctions $r,s,u,r',s',u'$ qui en proviennent, on aura trois autres équations semblables