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et il est d’abord facile de voir que le coefficient $\mathrm {A}$ sera nul par la destruction mutuelle des termes qui le composent. On aura ensuite

${\begin{aligned}\mathrm {B} =&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\left({\frac {dr}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr'}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}\left({\frac {ds}{da}}{\frac {ds'}{db}}-{\frac {ds'}{da}}{\frac {ds}{db}}\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}\left({\frac {du}{da}}{\frac {du'}{db}}-{\frac {du'}{da}}{\frac {du}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\left({\frac {dr}{da}}{\frac {ds'}{db}}+{\frac {ds}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr'}{da}}{\frac {ds}{db}}-{\frac {ds'}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\left({\frac {dr}{da}}{\frac {du'}{db}}+{\frac {du}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr'}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {du'}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}\left({\frac {ds}{da}}{\frac {du'}{db}}+{\frac {du}{da}}{\frac {ds'}{db}}-{\frac {ds'}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {du'}{da}}{\frac {ds}{db}}\right).\end{aligned}}$

En changeant successivement dans cette expression de $\mathrm {B}$ la lettre $b$ en $c,f,g,h,$ c’est-à-dire, les différentielles partielles relatives à $b$ en pareilles différentielles relatives à $c,f,g,h,$ on aura les expressions des valeurs de $\mathrm {C,F,G,H} .$

Comme $\mathrm {R}$ est une fonction donnée de $r,s,u,r',s',u',$ et que ces quantités sont des fonctions supposées connues de $t$ et de $a,b,c,f,g,h,$ il est visible que les coefficients $\mathrm {B,C,F,G,H}$ dont il s’agit seront aussi des fonctions de $t$ et de $a,b,c,f,g,h.$ La question est maintenant de déterminer la nature de ces fonctions.

11. Pour cela on se rappellera que les fonctions $r,s,u$ et leurs dérivées $r'={\frac {dr}{dt}},\ s'={\frac {ds}{dt}},\ u'={\frac {du}{dt}}$ sont telles qu’elles satisfont aux trois équations

${\begin{aligned}d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt=&0,\\d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt=&0,\\d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt=&0,\end{aligned}}$

en y regardant les quantités $a,b,c,f,g,h$ comme des constantes arbitraires quelconques, et la quantité $t$ comme seule variable. Ainsi, en donnant aux constantes $a,b,c,\ldots$ des accroissements quelconques $\delta a,$