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terminer les variations de toutes les constantes par les procédés ordinaires de l’élimination, et il est clair que l’on aura pour chacune de ces variations des formules de la forme

${\frac {da}{dt}}=\mathrm {L} {\frac {d\Omega }{da}}+\mathrm {M} {\frac {d\Omega }{db}}+\mathrm {N} {\frac {d\Omega }{dc}}+\ldots ,$

dans lesquelles les coefficients $\mathrm {L,M,N} ,$ seront de simples fonctions de $a,b,c,\ldots$ sans $t,$ comme on l’a vu dans le Mémoire sur la variation des éléments des planètes ; et l’on aura les variations séculaires en n’ayant égard, dans le développement de la fonction $\Omega ,$ qu’aux termes non périodiques.

24. Dans le cas des perturbations d’une planète, ses trois coordonnées $x,y,z$ sont indépendantes l’une de l’autre, et on peut les prendre pour les variables $r,s,u.$ On aura alors

$\mathrm {T} =m{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}={\frac {1}{2}}m\left(r'^{2}+s'^{2}+u'^{2}\right),$

d’où l’on tire

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dr'^{2}}}\ \ =&m,&{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{ds'^{2}}}\ \ =&m,&{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{du'^{2}}}\ \ =&m,\\{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dr'ds'}}=&0,\qquad &{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dr'du'}}=&0,\qquad &{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{ds'du'}}=&0,\\{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{ds\,dr'}}=&0,&{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{du\,dr'}}=&0,\ldots .\end{alignedat}}$

L’expression générale de $(a,b)$ devient ainsi

$m\left({\frac {dr}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr'}{da}}{\frac {dr}{db}}+{\frac {ds}{da}}{\frac {ds'}{db}}-{\frac {ds'}{da}}{\frac {ds}{db}}+{\frac {du}{da}}{\frac {du'}{db}}-{\frac {du'}{da}}{\frac {du}{db}}\right),$

laquelle s’accorde avec celle du n^o 6 du Mémoire cité, en y changeant $r,s,u$ en $x,y,z,$ et $r',s',u'$ en ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ et effaçant le facteur $m$ qui est la masse de la planète, parce que, les quantités $\mathrm {T,V}$ et $\Omega$ se trouvant toutes multipliées par $m,$ ce facteur disparaît de lui-même des équations différentielles.