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laquelle exprime la loi de la conservation des forces vives. [Voyez la cinquième Section de la seconde Partie de la Mécanique analytique, Article IV^[1].]

29. Lorsqu’on a égard aux forces perturbatrices, les équations des mouvements du système sont (5)

${\begin{aligned}&d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt={\frac {d\Omega }{dr}}dt,\\&d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt={\frac {d\Omega }{ds}}dt,\\&d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt={\frac {d\Omega }{du}}dt,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et, en faisant sur ces équations les mêmes opérations, on aura, au lieu de l’équation $\mathrm {T+V} =a,$ celle-ci

$\mathrm {T+V} =a+\int \left({\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{ds}}ds+{\frac {d\Omega }{du}}du+\ldots \right),$

dans laquelle la quantité

${\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{ds}}ds+{\frac {d\Omega }{du}}du+\ldots$

n’est pas intégrable, parce que la quantité $\Omega$ est en même temps fonction de $r,s,u,\ldots$ et des variables qui dépendent du mouvement des centres des forces perturbatrices.

Ainsi, dans le cas des forces perturbatrices, la constante arbitraire $a$ de l’équation $\mathrm {T+V} =a$ devient variable, et l’on a

$da={\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{ds}}ds+{\frac {d\Omega }{du}}du+\ldots .$

La force vive du système (1) étant exprimée par $2\mathrm {T} ,$ elle sera égale à $2a-2\mathrm {V} \,;$ mais la quantité $\mathrm {V}$ est une fonction donnée des variables qui déterminent la position instantanée des corps dans l’espace. Donc les

1. Dans la deuxième Édition, seconde Partie, Section V, n^o 22.$\qquad$(Note de l’Éditeur.)