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En ajoutant ensemble ces équations, après les avoir multipliées respectivement par $r'={\frac {dr}{dt}},\ s'={\frac {ds}{dt}},\ u'={\frac {du}{dt}},\ldots ,$ on a

$r'd{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+s'd{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+u'd{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}+\ldots -{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dr-{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}ds-{\frac {d\mathrm {R} }{du}}du-\ldots =0.$

Or la première partie de cette équation peut se mettre sous la forme

$d\left({\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}r'+{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}s'+{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}u'+\ldots \right)-{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}dr'-{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}ds'-{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}du'-\ldots .$

Donc, puisque $\mathrm {R}$ ne contient d’autres variables que $r,s,u,r',s',u',\ldots ,$ l’équation prendra cette forme

$d\left({\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}r'+{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}s'+{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}u'+\ldots \right)-d\mathrm {R} =0,$

dont l’intégrale est

${\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}r'+{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}s'+{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}u'+\ldots -\mathrm {R} =a,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Or $\mathrm {R=T-V}$ (5) ; et, comme $\mathrm {V}$ n’est censé contenir que $r,s,u,\ldots$ sans $r',s',u',\ldots ,$ l’équation précédente devient

${\frac {d\mathrm {T} }{dr'}}r'+{\frac {d\mathrm {T} }{ds'}}s'+{\frac {d\mathrm {T} }{du'}}u'+\ldots -\mathrm {T+V} =a.$

Mais, la quantité $\mathrm {T}$ étant exprimée en fonction de $r,s,u$ et de $r',s',$$u',\ldots ,$ il est facile de voir qu’elle ne peut être qu’une fonction homogène de deux dimensions de $r',s',u',\ldots ,$ et qu’ainsi on doit avoir, par la propriété connue de ces sortes de fonctions,

${\frac {d\mathrm {T} }{dr'}}r'+{\frac {d\mathrm {T} }{ds'}}s'+{\frac {d\mathrm {T} }{du'}}u'+\ldots =2\mathrm {T} .$

De sorte que l’équation qu’on vient de trouver se réduira à

$\mathrm {T+V} =a,$