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SUPPLÉMENT AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT.

L’objet de ce Supplément est de montrer comment la formule du n^o 35, qui renferme toute la Théorie de la variation des constantes arbitraires, et à laquelle je ne suis arrivé que par une analyse longue et compliquée, peut se déduire immédiatement des équations primitives du n^o 8.

En conservant toujours la caractéristique $\delta$ pour dénoter les différentielles provenant uniquement de la variation des constantes arbitraires, il est facile de voir que ces équations peuvent se mettre sous cette forme plus simple

${\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{dr}}dt=&\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}},\\{\frac {d\Omega }{ds}}dt=&\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}},\\{\frac {d\Omega }{du}}dt=&\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}},\end{aligned}}$

dont celles du n^o 8 ne sont que le développement.

De là, en regardant $r,s,u$ comme fonctions de $a,$ on tire tout de suite

${\frac {d\Omega }{da}}dt={\frac {dr}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+{\frac {ds}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+{\frac {du}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}},$

et, à cause de

$\delta r=0,\quad \delta s=0,\quad \delta u=0,$

on a aussi

${\frac {d\Omega }{da}}dt={\frac {dr}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+{\frac {ds}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+{\frac {du}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {R} }{dr'}}}{da}}\delta r-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {R} }{ds'}}}{da}}\delta s-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {R} }{du'}}}{da}}\delta u,$

où il n’y a plus qu’à changer $\mathrm {R}$ en $\mathrm {T}$ pour avoir la formule dont il s’agit.

Cette équation et celle du n^o 34, par laquelle on voit que le second membre de l’équation précédente est toujours indépendant du temps $t,$ sont le résultat de tout le Mémoire, qui, présenté de cette manière, ne tiendrait que deux ou trois pages.