Or,
étant une fonction des variables
il est facile de voir, par le développement des différentielles marquées par
et
que les deux formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}+\Delta r'\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\ldots ,\\&\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}+\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}+\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}+\delta r'\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14a070fc04bec03e5b6e58dda6f86c31c54cefc)
sont identiques. Donc il reste l’équation intégrable
![{\displaystyle d\left(\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750e1b2c78ac675c99061d08843d2e359808ba9f)
35. Enfin, si dans l’expression de
du no 20 on substitue les valeurs des symboles
données dans le no 26, et qu’on dénote, comme dans le no 7, par la caractéristique
les différentielles provenant uniquement de la variation des constantes
on aura l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{da}}dt={\frac {dr}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {T} }{dr'}}+{\frac {ds}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {T} }{ds'}}+{\frac {du}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {T} }{du'}}-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{dr'}}}{da}}\delta r-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{ds'}}}{da}}\delta s-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{du'}}}{da}}\delta u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea1e1999c241eca44f3014e5dc1f2a5ce2fb9ce)
où le
devant disparaître du second membre y peut être supposé tout ce que l’on voudra.
On aura autant de pareilles équations qu’il y a de constantes arbitraires, en changeant successivement
en
dans les différences partielles.
C’est là, ce me semble, ce que l’Analyse peut donner de plus simple sur la variation des constantes arbitraires dans les Problèmes de Mécanique.