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la place de ces trois dernières constantes, on prend les trois constantes $\lambda ,\mu ,\nu ,$ qui sont données en $\alpha ,\beta ,\gamma$ et $\alpha ',\beta ',\gamma '$ on pourra représenter les six constantes arbitraires du Problème par les six quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\lambda ,\mu ,\nu .$

Ainsi, en substituant successivement, dans la formule précédente, chacune de ces quantités à la place de $a$ qui représente une des constantes arbitraires, et changeant la caractéristique $\delta$ en $d,$ puisque les variations des constantes arbitraires se rapportent maintenant au temps $t,$ on aura tout de suite les six équations

${\begin{alignedat}{2}{\frac {d\Omega }{d\alpha }}dt=&d\lambda ,&{\frac {d\Omega }{d\beta }}dt=&d\mu ,&{\frac {d\Omega }{d\gamma }}dt=&d\nu ,\\{\frac {d\Omega }{d\lambda }}dt=&-d\alpha ,\quad &{\frac {d\Omega }{d\mu }}dt=&-d\beta ,\quad &{\frac {d\Omega }{d\nu }}dt=&-d\gamma ,\end{alignedat}}$

qui sont, comme l’on voit, sous la forme la plus simple qu’il soit possible.

3. Mais, quelles que soient les constantes arbitraires qu’on. veuille employer dans les expressions des variables $r,s,u,$ elles ne peuvent être que des fonctions des constantes $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\beta ',\gamma ',$ qu’on trouvera facilement en faisant $t=0$ dans les équations qui donnent les valeurs de $r,s,u,$ et dans leurs différentielles, et changeant $r,s,u,r',s',u'$ en $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\beta ',\gamma '.$

Ainsi, comme les quantités $\lambda ,\mu ,\nu$ sont données aussi en $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',$$\beta ',\gamma ',$ on aura les nouvelles constantes, que nous désignerons maintenant par $a,b,c,f,g,h,$ en fonction des constantes $\alpha ,\beta ,\gamma ,\lambda ,\mu ,\nu .$

Donc, en différentiant les valeurs de $a,b,c,\ldots ,$ et substituant les valeurs de $d\alpha ,d\beta ,d\gamma ,d\lambda ,d\mu ,d\nu$ qu’on vient de trouver, on aura, en divisant par $dt,$

${\begin{aligned}&{\frac {da}{dt}}=-{\frac {da}{d\alpha }}{\frac {d\Omega }{d\lambda }}-{\frac {da}{d\beta }}{\frac {d\Omega }{d\mu }}-{\frac {da}{d\gamma }}{\frac {d\Omega }{d\nu }}+{\frac {da}{d\lambda }}{\frac {d\Omega }{d\alpha }}+{\frac {da}{d\mu }}{\frac {d\Omega }{d\beta }}+{\frac {da}{d\nu }}{\frac {d\Omega }{d\gamma }},\\&{\frac {db}{dt}}\,=-{\frac {db}{d\alpha }}{\frac {d\Omega }{d\lambda }}-{\frac {db}{d\beta }}{\frac {d\Omega }{d\mu }}-{\frac {db}{d\gamma }}{\frac {d\Omega }{d\nu }}+{\frac {db}{d\lambda }}{\frac {d\Omega }{d\alpha }}+{\frac {db}{d\mu }}{\frac {d\Omega }{d\beta }}+{\frac {db}{d\nu }}{\frac {d\Omega }{d\gamma }},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$