Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/815

Le point capital de cette formule est que le second membre de l’équation doit devenir indépendant du temps après la substitution des valeurs de $r,s,u,$ comme je l’ai démontré d’une manière fort simple dans le n^o 34 de l’Addition. C’est pourquoi, si l’on suppose, ce qui est toujours permis,

${\begin{alignedat}{3}r=&\alpha &&+\alpha 't&&+\alpha ''t^{2}+\ldots ,\\s=&\beta &&+\beta 't&&+\beta ''t^{2}+\ldots ,\\u=&\gamma &&+\gamma 't&&+\gamma ''t^{2}+\ldots ,\end{alignedat}}$

et ensuite

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {T} }{dr'}}=&\lambda +\lambda 't+\lambda ''t^{2}+\ldots ,\\{\frac {d\mathrm {T} }{ds'}}=&\mu +\mu 't+\mu ''t^{2}+\ldots ,\\{\frac {d\mathrm {T} }{du'}}=&\nu +\nu 't+\nu ''t^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

tous les termes de ces séries, excepté les premiers, s’en iront après les substitutions ; de sorte qu’il suffira de substituer dans la formule générale $\alpha ,\beta ,\gamma ,\lambda ,\mu ,\nu$ à la place des quantités $r,s,u,{\frac {d\mathrm {T} }{dr'}},{\frac {d\mathrm {T} }{ds'}},{\frac {d\mathrm {T} }{du'}}\,;$ ce qui la réduira d’abord à la forme

${\frac {d\Omega }{da}}dt={\frac {d\alpha }{da}}\delta \lambda +{\frac {d\beta }{da}}\delta \mu +{\frac {d\gamma }{da}}\delta \nu -{\frac {d\lambda }{da}}\delta \alpha -{\frac {d\mu }{da}}\delta \beta -{\frac {d\nu }{da}}\delta \gamma \,;$

et, comme $\mathrm {T}$ est une fonction de $r,s,u$ et de $r'={\frac {dr}{dt}},\ s'={\frac {ds}{dt}},\ u'={\frac {du}{dt}},$ il est clair que les premiers termes $\lambda ,\mu ,\nu$ seront donnés en fonction de $\alpha ,\beta ,\gamma$ et de $\alpha ',\beta ',\gamma ',$ et que ces fonctions seront semblables aux ${\frac {d\mathrm {T} }{dr'}},\ {\frac {d\mathrm {T} }{ds'}},\ {\frac {d\mathrm {T} }{du'}}$ de $r,s,u,r',s',u'.$

2. Les équations différentielles entre les variables $r,s,u$ et $t$ étant du second ordre, les constantes arbitraires que l’intégration introduit naturellement dans les expressions de $r,s,u$ sont leurs valeurs initiales $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ ainsi que les valeurs initiales $\alpha ',\beta ',\gamma '$ de ${\frac {dr}{dt}},\ {\frac {ds}{dt}},\ {\frac {du}{dt}}.$ Donc si, à