![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1}}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}+{\frac {p_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{3}p_{3}}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}-{\frac {p_{3}}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{4}p_{4}}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}-{\frac {p_{4}}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast {\frac {r_{2}p_{2}}{\delta _{2}^{3}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaed0cdffa032e91a0920295c7de45d0a7c6b63a)
On aura pareillement les expressions de
et de
en marquant successivement de trois et de quatre traits les lettres qui ne sont marquées que d’un seul trait dans les expressions de
et réciproquement[1].
XIV.
Il reste à chercher les valeurs des quantités
qui expriment les distances entre le premier satellite et le second, entre le premier et le troisième, etc. (Article IX). Or il est facile de trouver qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (r_{1},r_{2})^{2}=&(r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1})^{2}+\left[r_{1}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}+\left[r_{2}-r_{1}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}\\=&r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286f86c9eb415e5e29b4a602d094ac65dd40dbd9)
donc, tirant la racine carrée,
![{\displaystyle \Delta (r_{1},r_{2})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1fed9c7428f13f26da580c4af5cff39a6c7f83)
On trouvera pareillement
![{\displaystyle \Delta (r_{1},r_{3})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{3}\left[\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+p_{1}p_{3}\right]+r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0724dead4d7f7e4009fbd4ee02b45f9850efde7)
et ainsi des autres. On voit par là que
![{\displaystyle \Delta (r_{2},r_{1})=\Delta (r_{1},r_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472a177dabdf0919ddecdff04328f49aeb0073a9)
car l’expression de cette dernière quantité demeure la même, en changeant
en
et réciproquement ; ce qui est d’ailleurs évident.
- ↑ Voir la Note de la page 76.