Au reste il ne sera nécessaire que de connaître les deux premiers coefficients
pour avoir tous les autres
car on trouvera par les formules de l’Article XXVI de la Pièce sur le mouvement de Saturne [Prix 1748][1]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} =&{\frac {\left(1+q^{2}\right)\mathrm {B} -2\lambda q\mathrm {A} }{(2-\lambda )q}},\\\mathrm {D} =&{\frac {2\left(1+q^{2}\right)\mathrm {C} -(1+\lambda )q\mathrm {B} }{(3-\lambda )q}},\\\mathrm {E} =&{\frac {3\left(1+q^{2}\right)\mathrm {D} -(2+\lambda )q\mathrm {C} }{(4-\lambda )q}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96f48d5f10feee93186a99447721852eb0528ab)
et ainsi de suite.
XIX.
Tout consiste donc à déterminer les valeurs de
et
Or, dans la Théorie des satellites de Jupiter, la plus grande valeur de
est d’environ
comme on le verra plus bas ; donc
sera toujours moindre que
donc, si l’on fait
les suites
et
seront assez convergentes pour qu’on puisse se contenter d’un petit nombre de termes. Ces suites seront représentées, en général, par celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+{\frac {9}{4}}q^{2}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}q^{4}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {49}{36}}q^{6}+\ldots ,\\{\frac {\mathrm {B} }{2}}=&{\frac {3}{2}}q+{\frac {9}{4}}.{\frac {5}{4}}q^{3}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {7}{6}}q^{5}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d919fa21d0052b685340eccadfbb4123e8f2b8a)
dont les coefficients numériques sont très-aisés à calculer.
Voici les logarithmes de ces coefficients pour les différentes puissances de
qui entrent dans les deux séries dont il s’agit ; les logarithmes qui répondent aux puissances paires de
sont ceux des coefficients des termes de la série
et les logarithmes qui répondent aux puissances impaires de
sont ceux des coefficients des termes de la série
- ↑ La pièce dont il est ici question est le Mémoire d’Euler inséré dans le tome VII des Prix de l’Académic Royale des Sciences.
(Note de l’Éditeur.)