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Au reste il ne sera nécessaire que de connaître les deux premiers coefficients $\mathrm {A,B} ,$ pour avoir tous les autres $\mathrm {C,D} ,\ldots \,;$ car on trouvera par les formules de l’Article XXVI de la Pièce sur le mouvement de Saturne [Prix 1748]^[1]

${\begin{aligned}\mathrm {C} =&{\frac {\left(1+q^{2}\right)\mathrm {B} -2\lambda q\mathrm {A} }{(2-\lambda )q}},\\\mathrm {D} =&{\frac {2\left(1+q^{2}\right)\mathrm {C} -(1+\lambda )q\mathrm {B} }{(3-\lambda )q}},\\\mathrm {E} =&{\frac {3\left(1+q^{2}\right)\mathrm {D} -(2+\lambda )q\mathrm {C} }{(4-\lambda )q}}\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

XIX.

Tout consiste donc à déterminer les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ Or, dans la Théorie des satellites de Jupiter, la plus grande valeur de $q$ est d’environ ${\frac {2}{3}},$ comme on le verra plus bas ; donc $q^{2}$ sera toujours moindre que ${\frac {1}{2}}\,;$ donc, si l’on fait $\lambda ={\frac {3}{2}},$ les suites $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront assez convergentes pour qu’on puisse se contenter d’un petit nombre de termes. Ces suites seront représentées, en général, par celles-ci

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+{\frac {9}{4}}q^{2}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}q^{4}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {49}{36}}q^{6}+\ldots ,\\{\frac {\mathrm {B} }{2}}=&{\frac {3}{2}}q+{\frac {9}{4}}.{\frac {5}{4}}q^{3}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {7}{6}}q^{5}+\ldots ,\end{aligned}}$

dont les coefficients numériques sont très-aisés à calculer.

Voici les logarithmes de ces coefficients pour les différentes puissances de $q$ qui entrent dans les deux séries dont il s’agit ; les logarithmes qui répondent aux puissances paires de $q$ sont ceux des coefficients des termes de la série $\mathrm {A} ,$ et les logarithmes qui répondent aux puissances impaires de $q$ sont ceux des coefficients des termes de la série ${\frac {\mathrm {B} }{2}}.$

1. La pièce dont il est ici question est le Mémoire d’Euler inséré dans le tome VII des Prix de l’Académic Royale des Sciences.$\qquad \qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)