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j’ai

${\begin{aligned}&\left[1-q\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\\&\qquad \qquad \qquad \qquad 1+\lambda q\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\left(\cos 2\theta \pm \sin 2\theta {\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\left(\cos 3\theta \pm \sin 3\theta {\sqrt {-1}}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

Soit, pour abréger,

${\begin{aligned}1+&\lambda q\cos \theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\cos 2\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\cos 3\theta +\ldots =\mathrm {M} ,\\&\lambda q\sin \,\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\sin \,2\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\sin \,3\theta +\ldots =\mathrm {N} \,;\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}&\left[1-q\left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\mathrm {M+N} {\sqrt {-1}},\\&\left[1-q\left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\mathrm {M-N} {\sqrt {-1}}\,;\end{aligned}}$

donc

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda }=\mathrm {\left(\mathrm {M+N} {\sqrt {-1}}\right)\left(\mathrm {M-N} {\sqrt {-1}}\right)=M^{2}+N^{2}} .$

Or, si l’on fait les carrés des deux séries $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ qu’on ajoute ensemble les termes qui ont le même coefficient, et qu’on remarque que

$\cos m\theta \times \cos n\theta +\sin m\theta \times \sin \theta =\cos(m-n)\theta ,$

$m$ et $n$ étant des nombres quelconques, on trouvera

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda }=\mathrm {A+B\cos \theta +C\cos 2\theta +D} \cos 3\theta +\ldots .$

Et les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ seront exprimés de la manière suivante

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+\lambda ^{2}q^{2}+{\frac {\lambda ^{2}(\lambda +1)^{2}}{2^{2}}}q^{4}+{\frac {\lambda ^{2}(\lambda +1)^{2}(\lambda +2)^{2}}{2^{2}.3^{2}}}q^{6}+\ldots ,\\\mathrm {B} =&2\lambda q+2\lambda {\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{3}+2{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{5}+\ldots ,\\&+2{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)}{2.3.4}}q^{7}+\ldots ,\\\mathrm {C} =&2{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}+2\lambda {\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{4}+\ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.