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pour l’année 1768, et qui a pour titre Nouvelle Méthode pour résoudre les Problèmes indéterminés^[1]. Voyez aussi un Mémoire de Legendre sur l’Analyse indéterminée, dans le Recueil de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1785.

48. Considérons maintenant les équations de la forme

$ay^{m}+by^{m-1}x+cy^{m-2}x^{2}+dy^{m-3}x^{3}+\ldots =h,$

dans lesquelles $a,b,c,\ldots ,h$ sont des nombres entiers donnés, et où les deux indéterminées $x,y,$ qui forment partout dans le premier membre le même nombre $m$ de dimensions, doivent être aussi des nombres entiers.

Je supposerai d’abord que $x$ et $y$ doivent être premiers entre eux, et que de plus y doive être premier à $h\,;$ je dis qu’on peut faire

$x=ny-hz,$

$n$ et $z$ étant des nombres entiers indéterminés ; car, en regardant $x,y$ et $h$ comme des nombres donnés, on aura une équation résoluble en nombres entiers par la méthode du § III, puisque $y$ et $h$ n’ont, par l’hypothèse, d’autre commune mesure que l’unité. Qu’on substitue cette expression de $x$ dans l’équation proposée, elle deviendra

${\begin{aligned}\left(a+bn+cn^{2}+dn^{3}+\ldots \right)y^{m}&-\left(b+2cn+3dn^{2}+\ldots \right)h^{2}y^{m-1}z\\&+(c+3dn+\ldots )h^{2}y^{m-2}z^{2}-\ldots =h,\end{aligned}}$

où l’on voit que tous les termes sont divisibles d’eux-mêmes par $h,$ excepté le premier

$\left(a+bn+cn^{2}+dn^{3}+\ldots \right)y^{m}.$

Il faudra donc, pour que l’équation puisse subsister en nombres entiers, que cette quantité soit aussi divisible par $h.$ Mais nous supposons que $h$ et $y$ sont premiers entre eux ; donc il faudra que la quantité

$a+bn+cn^{2}+dn^{3}+\ldots$

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 655.