soit elle-même divisible par Ainsi il n’y aura qu’à chercher, par la méthode du numéro précédent, toutes les valeurs de qui pourront satisfaire à cette condition ; faisant ensuite, pour chacune de ces valeurs,
l’équation précédente deviendra, après ces substitutions et la division de tous les termes par
cette équation, étant ainsi réduite à la forme de celle du no 30, est susceptible des méthodes que nous avons données dans le § II, et par lesquelles on pourra trouver toutes les valeurs satisfaisantes de et Ces valeurs, ainsi que celles de étant connues, on aura, en général,
Nous avons supposé, dans la solution précédente, que et doivent être premiers entre eux, ainsi que et entre eux ; ces suppositions sont permises, puisque les nombres et sont indéterminés ; mais, comme elles ne paraissent point absolument nécessaires, il faut encore examiner dans quels cas elles peuvent cesser d’avoir lieu.
Supposons donc : 1o que et puissent avoir une commune mesure il n’y aura qu’à mettre partout, dans l’équation proposée, à la place de et et regarder ensuite et comme premiers entre eux. Or, par cette substitution, il est clair que tous les termes du premier membre de l’équation se trouveront multipliés par par conséquent, il faudra que le second membre soit divisible par d’où il suit qu’on ne peut prendre pour que les diviseurs du nombre qui s’y trouveront élevés à la puissance Ainsi, si le nombre ne contient aucun facteur élevé à la puissance on sera assuré que les nombres et devront nécessairement être premiers entre eux.
