qu’il puisse être entier ou fractionnaire, et l’on verra par la suite comment il faudra résoudre la question, lorsqu’on ne veut admettre que des nombres entiers.
Soit donc
et l’on aura
de sorte que la difficulté sera réduite à rendre rationnelle la quantité
50. Supposons donc, en général, qu’on ait à rendre rationnelle la quantité c’est-à-dire à rendre
égal à un carré, et étant des nombres entiers donnés, positifs ou négatifs, et un nombre indéterminé, qui doit être rationnel.
Il est d’abord clair que, si l’un des nombres ou était ou égal à un carré quelconque, le Problème serait résoluble par les méthodes connues de Diophante, qui sont détaillées dans le Chapitre IV ; ainsi nous ferons ici abstraction de ces cas, ou plutôt nous tâcherons d’y ramener tous les autres.
De plus, si les nombres et étaient divisibles par des nombres carrés quelconques, on pourrait aussi faire abstraction de ces diviseurs, c’est-à-dire les supprimer, en ne prenant pour et que les quotients qu’on aurait après avoir divisé les valeurs données par les plus grands carrés possibles ; en effet, supposant et on aura à rendre carré le nombre donc, divisant par et faisant il s’agira de déterminer l’inconnue en sorte que
soit un carré.
D’où il s’ensuit que, dès qu’on aura trouvé une valeur de propre à rendre égal à un carré, en rejetant dans les valeurs données
