Si le nombre contient un ou plusieurs facteurs élevés à la puissance alors il faudra prendre successivement pour chaque facteur ou combinaison de facteurs, dont la puissance divisera le nombre et l’on aura autant de solutions différentes en regardant dans chacune et comme premiers entre eux.
Supposons : 2o que et aient une commune mesure on mettra et à la place de et et l’on regardera ensuite et comme premiers entre eux. Par ces substitutions, tous les termes du premier membre qui contiennent se trouveront multipliés par une puissance de il n’y aura que le dernier terme, que je représenterai par qui, ne contenant point ne se trouvera point multiplié par Mais, puisque le second membre devient il s’ensuit que le terme devra aussi être divisible par or, et étant déjà supposés premiers entre eux, ne saurait être divisible par donc il faudra que le coefficient le soit. D’où je conclus qu’on pourra prendre pour successivement tous les diviseurs de et, après la substitution de et au lieu de et de et la division de toute l’équation par on aura de nouveau le cas où l’indéterminée sera nécessairement première au nombre qui formera le second membre.
49. Je suppose d’abord que les nombres connus soient entiers ; s’ils étaient fractionnaires, il n’y aurait qu’à les réduire à un même dénominateur carré, et alors il est clair qu’on pourrait toujours faire abstraction de leur dénominateur ; quant au nombre on supposera ici
