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et l’on remarquera que, comme les nombres $p,q$ et $z$ doivent être entiers, il faudra que $z^{2}-\mathrm {B} q^{2}$ soit divisible par $\mathrm {A} .$

Donc, puisque $\mathrm {A}$ et $q$ sont premiers entre eux (numéro précédent), on fera, suivant la méthode du § IV, n^o 48 ci-dessus,

$z=nq-\mathrm {A} q_{1},$

$n$ et $q_{1}$ étant deux nombres entiers indéterminés ; ce qui changera la formule $z^{2}-\mathrm {B} q^{2}$ en celle-ci

$\left(n^{2}-\mathrm {B} \right)q^{2}-2n\mathrm {A} qq_{1}+\mathrm {A} ^{2}q_{1}^{2},$

dans laquelle il faudra que $n^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ en prenant pour $n$ un nombre entier non $>{\frac {\mathrm {A} }{2}}.$

On essayera donc pour $n$ tous les nombres entiers qui ne surpassent pas ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et, si l’on n’en trouve aucun qui rende $n^{2}-\mathrm {B}$ divisible par $\mathrm {A} ,$ on en conclura sur-le-champ que l’équation

$\mathrm {A} p^{2}=z^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

n’est pas résoluble en nombres entiers, et qu’ainsi la quantité $\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B}$ ne saurait jamais devenir un carré.

Mais, si l’on trouve une ou plusieurs valeurs satisfaisantes de $n,$ on les mettra l’une après l’autre à la place de $n,$ et l’on poursuivra le calcul comme on va le voir.

Je remarquerai seulement encore qu’il serait inutile de donner aussi à $n$ des valeurs plus grandes que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$ car, nommant $n_{1},n_{2},n_{3},\ldots$ les valeurs de $n$ moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ qui rendront $n^{2}-\mathrm {B}$ divisible par $\mathrm {A} ,$ toutes les autres valeurs de $n$ qui pourront faire le même effet seront renfermées dans ces formules (n^o 47 du § IV)

$n_{1}\pm \mu _{1}\mathrm {A} ,\quad n_{2}\pm \mu _{2}\mathrm {A} ,\quad n_{3}\pm \mu _{3}\mathrm {A} ,\quad \ldots \,;$

or, substituant ces valeurs à la place de $n$ dans la formule

$\left(n^{2}-\mathrm {B} \right)q^{2}-2n\mathrm {A} qq_{1}+\mathrm {A} ^{2}q_{1}^{2},\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad (nq-\mathrm {A} q_{1})^{2}-\mathrm {B} q^{2},$