et l’on remarquera que, comme les nombres
et
doivent être entiers, il faudra que
soit divisible par
Donc, puisque
et
sont premiers entre eux (numéro précédent), on fera, suivant la méthode du § IV, no 48 ci-dessus,
![{\displaystyle z=nq-\mathrm {A} q_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13d83e1d1c0d5bb1708c2d45dc5c0cbf8a06d61)
et
étant deux nombres entiers indéterminés ; ce qui changera la formule
en celle-ci
![{\displaystyle \left(n^{2}-\mathrm {B} \right)q^{2}-2n\mathrm {A} qq_{1}+\mathrm {A} ^{2}q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edce89cb55352a38294a194f5e030bae4aa8fed)
dans laquelle il faudra que
soit divisible par
en prenant pour
un nombre entier non ![{\displaystyle >{\frac {\mathrm {A} }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a99508603b96cd15f825ad1526eeb4cb786cc58)
On essayera donc pour
tous les nombres entiers qui ne surpassent pas
et, si l’on n’en trouve aucun qui rende
divisible par
on en conclura sur-le-champ que l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{2}=z^{2}-\mathrm {B} q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12fbea41b9c3460632270054d5bae8a4e64e2d2d)
n’est pas résoluble en nombres entiers, et qu’ainsi la quantité
ne saurait jamais devenir un carré.
Mais, si l’on trouve une ou plusieurs valeurs satisfaisantes de
on les mettra l’une après l’autre à la place de
et l’on poursuivra le calcul comme on va le voir.
Je remarquerai seulement encore qu’il serait inutile de donner aussi à
des valeurs plus grandes que
car, nommant
les valeurs de
moindres que
qui rendront
divisible par
toutes les autres valeurs de
qui pourront faire le même effet seront renfermées dans ces formules (no 47 du § IV)
![{\displaystyle n_{1}\pm \mu _{1}\mathrm {A} ,\quad n_{2}\pm \mu _{2}\mathrm {A} ,\quad n_{3}\pm \mu _{3}\mathrm {A} ,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2a1dd5b2cd7a83703e440c8c92d2b0bf673f3f)
or, substituant ces valeurs à la place de
dans la formule
![{\displaystyle \left(n^{2}-\mathrm {B} \right)q^{2}-2n\mathrm {A} qq_{1}+\mathrm {A} ^{2}q_{1}^{2},\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad (nq-\mathrm {A} q_{1})^{2}-\mathrm {B} q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac816125db405ef45ddc55b9a543a095932030a)