il est clair qu’on aura les mêmes résultats que si l’on mettait seulement ![{\displaystyle n_{1},n_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b318b20caf67dca97c2d6331f45205504123df)
à la place de
et qu’on ajoutât à
les quantités ![{\displaystyle \mp \mu _{1}q,\mp \mu _{2}q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefdfc5de6653ad3e18df4adca2c9e5263742296)
de sorte que, comme
est un nombre indéterminé, ces substitutions ne donneraient pas des formules différentes de celles qu’on aura par la simple substitution des valeurs
53. Puis donc que
doit être divisible par
soit
le quotient de cette division, en sorte que
et l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{2}=z^{2}-\mathrm {B} q^{2}=\left(n^{2}-\mathrm {B} \right)q^{2}-2n\mathrm {A} qq_{1}+\mathrm {A} ^{2}q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb80a4001661f0fa24383ecc402426a140330b04)
étant divisée par
deviendra celle-ci
![{\displaystyle p^{2}=\mathrm {A} _{1}q^{2}-2nqq_{1}+\mathrm {A} q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175da64c12d9cb81e917561ade7949d76cdee2b1)
où
sera nécessairement moindre que
à cause que
et que
et
non ![{\displaystyle >{\frac {\mathrm {A} }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a99508603b96cd15f825ad1526eeb4cb786cc58)
Or, 1o si
est un nombre carré, il est clair que cette équation sera résoluble par les méthodes connues, et l’on en aura la solution la plus simple qu’il est possible, en faisant
et
2o Si
n’est pas égal à un carré, on verra si ce nombre est moindre que
ou au moins s’il est divisible par un nombre quelconque carré, en sorte que le quotient soit moindre que
abstraction faite des signes ; alors on multipliera toute l’équation par
et l’on aura, à cause de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}p^{2}=(\mathrm {A} _{1}q-nq_{1})-\mathrm {B} q_{1}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e8e60079909a5b323d615d7fcdf116b0330afe)
soit un carré ; donc, divisant par
et faisant
et
on aura à rendre carrée la formule
![{\displaystyle \mathrm {B} y_{1}^{2}+\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4188cab535a320e63b373ca3219f0049b7223bc)
laquelle est, comme l’on voit, analogue à celle du no 50. Ainsi, si
contient un facteur carré
on pourra le supprimer, en ayant attention de