Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/113

donc

$a=g^{2}-bf-cf^{2}\,;$

de sorte que ; en substituant cette valeur dans la formule proposée, elle deviendra

$g^{2}+b(x-f)+c\left(x^{2}-f^{2}\right).$

Qu’on prenne $g+m(x-f)$ pour la racine de cette quantité, $m$ étant un nombre indéterminé, et l’on aura l’équation

$g^{2}+b(x-f)+c(x^{2}-f^{2})=g^{2}+2mg(x-f)+m^{2}(x-f)^{2},$

c’est-à-dire, en effaçant $g^{2}$ de part et d’autre, et divisant ensuite par $x-f,$

$b+c(x+f)=2mg+m^{2}(x-f),$

d’où l’on tire

$x={\frac {fm^{2}-2gm+b+cf}{m^{2}-c}}.$

Et il est clair qu’à cause du nombre indéterminé $m$ cette expression de $x$ doit renfermer toutes les valeurs qu’on peut donner à $x$ pour que la formule proposée devienne un carré ; car, quel que soit le nombre carré auquel cette formule peut être égale, il est visible que la racine de ce nombre pourra toujours être représentée par $g+m(x-f),$ en donnant à $m$ une valeur convenable. Ainsi, quand on aura trouvé par la méthode expliquée ci-dessus une seule valeur satisfaisante de $x,$ il n’y aura qu’à la prendre pour $f,$ et la racine du carré qui en résultera pour $g\,;$ on aura par la formule précédente toutes les autres valeurs possibles de $x$.

Dans l’Exemple précédent on a trouvé $y={\frac {5}{3}}$ et $x=-{\frac {2}{3}}\,;$ ainsi l’on fera $g={\frac {5}{3}}$ et $f=-{\frac {2}{3}},$ et l’on aura

$x={\frac {19-10m-2m^{2}}{3(m^{2}-13)}}\,:$

c’est l’expression générale des valeurs rationnelles de $x,$ qui peuvent rendre carrée la quantité $7+15x+13x^{2}.$