Exemple II.
58. Soit encore proposé de trouver une valeur rationnelle de
telle que
soit un carré.
Comme
et
ne sont divisibles par aucun nombre carré, il n’y aura aucune réduction à y faire. Ainsi, en faisant
il faudra que la formule
devienne un carré
de sorte qu’on aura l’équation
![{\displaystyle 23p^{2}=z^{2}+5q^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a93daedd7759af2172c729df862ba49a36b5231)
On fera donc
et il faudra prendre pour
un nombre entier non
tel que
soit divisible par
Je trouve
ce qui donne
et cette valeur de
est la seule qui ait les conditions requises. Substituant donc
à la place de
et divisant toute l’équation par
j’aurai celle-ci
![{\displaystyle p^{2}=3q^{2}-2.8qq_{1}+23q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8324f027ded010320558354a76d8bcaf4ded02f)
dans laquelle on voit que le coefficient
est déjà moindre que la valeur de
qui est
abstraction faite du signe.
Ainsi l’on multipliera toute l’équation par
et l’on aura
![{\displaystyle 3p^{2}=\left(3q-8q_{1}\right)^{2}+5q_{1}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3df8d5ee65cea659aac66f8f4b9f71de82fb53)
de sorte qu’en faisant
il faudra que la formule
![{\displaystyle -5y_{1}^{2}+3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a8f302d8021bfd209a04003fd2beae72338df3)
soit un carré, où les coefficients
et
n’admettent aucune réduction.
Soit donc
(
et
sont supposés premiers entre eux, au lieu que
et
peuvent ne pas l’être), et l’on aura à rendre carrée la quantité