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que ces formules renferment effectivement toutes les valeurs possibles de $t$ et $u.$

Au reste, il est inutile de remarquer que les valeurs de $t$ et de $u$ peuvent être également positives ou négatives ; car cela est visible par l’équation même

$t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1.$

De la manière de trouver toutes les solutions possibles, en nombres entiers,
des équations indéterminées du second degré à deux inconnues.

76. Les méthodes que nous venons d’exposer suffisent pour la résolution complète des équations de la forme

$\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} =x^{2}\,;$

mais il peut arriver qu’on ait à résoudre des équations du second degré d’une forme plus composée : c’est pourquoi nous croyons devoir montrer comment il faudra s’y prendre.

Soit proposée l’équation

$ar^{2}+brs+cs^{2}+dr+es+f=0,$

où $a,b,c,d,e,f$ soient des nombres entiers donnés, et où $r$ et $s$ soient deux inconnues qui doivent être aussi des nombres entiers.

J’aurai d’abord, par la résolution ordinaire,

$2ar+bs+d={\sqrt {(bs+d)^{2}-4a\left(cs^{2}+es+f\right)}}\,;$

d’où l’on voit que la difficulté se réduit à faire en sorte que

$(bs+d)^{2}-4a\left(cs^{2}+es+f\right)$

soit un carré.

Supposons, pour plus de simplicité,

$b^{2}-4ac=\mathrm {A} ,\quad bd-2ae=g,\quad d^{2}-4af=h,$

et il faudra que $\mathrm {A} s^{2}+2gs+h$ soit un carré ; supposons ce carré $=y^{2},$