Or, il est facile de voir que la quantité précédente doit être plus petite que celle-ci, à cause de
et
donc on aura une valeur de
qui sera moindre que la quantité
mais cette quantité est égale à
car
![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{3}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}+\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}}{2}} ,\\t_{4}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}+\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}}{2}} ,\\u_{3}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}-\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}}{2{\sqrt {A}}}} ,\\u_{4}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}-\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}}{2{\sqrt {A}}}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e106afa41618f53ed5f5681aef6fa40c6c0a54)
d’où
![{\displaystyle t_{3}u_{4}-u_{4}t_{3}=\mathrm {\frac {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}-\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}}{2{\sqrt {A}}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14597bbe585cf3f7590e6b2683e4be920281673)
de plus,
![{\displaystyle \mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}=\left(T^{2}-AU^{2}\right)^{3}=1} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d337d5753e73b359de43e80249d4ca640736695)
puisque
(hyp.) ; donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}=T+U{\sqrt {A}}} ,\\&\mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}=T-U{\sqrt {A}}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10a4231eb72b371d014b809574acbd0ffc7eabd)
de sorte que la valeur de
se réduira à
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {2U{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}=U} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7f89013dc6a96478ad385451fb6aff1ec6830e)
Il s’ensuivrait donc de là qu’on aurait une valeur de
ce qui est contre l’hypothèse, puisque
est supposé la plus petite valeur possible de
donc il ne saurait y avoir des valeurs de
et
intermédiaires entre celles-ci
et
Et comme ce raisonnement peut s’appliquer en général à toutes valeurs de
et
qui résulteraient des formules ci-dessus, en y faisant
égal à un nombre entier quelconque, on en peut conclure