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Si $\mathrm {A}$ est un nombre négatif ou un nombre positif carré, nous avons vu que le nombre des solutions possibles en nombres entiers est toujours limité, de sorte que dans ces cas il n’y aura qu’à essayer successivement pour $x$ et $y$ les valeurs trouvées ; et, si l’on n’en rencontre aucune qui donne pour $r$ et $s$ des nombres entiers, on en conclura que l’équation proposée n’admet point de solution de cette espèce.

La difficulté ne tombe-donc que sur le cas où $\mathrm {A}$ est un nombre positif non carré, cas dans lequel on a vu que le nombre des solutions possibles en entiers peut être infini ; comme l’on aurait alors un nombre infini de valeurs à essayer, on ne pourrait jamais bien juger de la résolubilité de l’équation proposée, à moins d’avoir une règle qui réduise le tâtonnement entre certaines limites c’est ce que nous allons rechercher.

77. Puisqu’on a (n^o 65)

$x=ny-\mathrm {B} z,$

et (n^o 72)

${\begin{aligned}y=&pt-(\mathrm {B} q-np)u,\\z=&qt+(\mathrm {C} p-nq)u,\end{aligned}}$

il est facile de voir que les expressions générales de $r$ et $s$ seront de cette forme

$r={\frac {\alpha t+\beta u+\gamma }{\delta }},\quad s={\frac {\alpha _{1}t+\beta _{1}u+\gamma _{1}}{\delta _{1}}},$

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \,;$ $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\delta _{1}$ étant des nombres entiers connus, et $t,u$ étant donnés par les formules du n^o 75, dans lesquelles l’exposant $m$ peut être un nombre entier positif quelconque. Ainsi la question se réduit à trouver quelle valeur on doit donner à $m,$ pour que les valeurs de $r$ et $s$ soient des nombres entiers.

78. Je remarque d’abord qu’il est toujours possible de trouver une valeur de $u$ qui soit divisible par un nombre quelconque donné $\Delta \,;$ supposant $u=\Delta \omega ,$ l’équation

$t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1$