deviendra
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} \Delta ^{2}\omega ^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b694bbb0e86a6cec3663c0653217eff7cc2fc81a)
laquelle est toujours résoluble en nombres entiers ; et l’on trouvera les plus petites valeurs de
et
en faisant le même calcul qu’auparavant, mais en prenant
à la place de
Or, comme ces valeurs satisfont aussi à l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4657e834dbd155ccd5ade782f79886b33a70e4)
elles seront nécessairement renferméesdans les formules du no 75. Ainsi il y aura nécessairement une valeur de
qui rendra l’expression de
divisible par ![{\displaystyle \Delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f768bd0f5ad6d36e95172cf0e044e88c5d119dc)
Qu’on dénote cette valeur de
par
et je dis que si, dans les expressions générales de
et
du numéro cité, on fait
la valeur de
sera divisible par
et celle de
étant divisée par
donnera
pour reste.
Car, si l’on désigne par
et
les valeurs de
et
où
et par
et
celles où
on aura (no 75)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {T_{1}\pm U_{1}{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)^{\mu }} ,\\&\mathrm {T_{2}\pm U_{2}{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)^{2\mu }} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ddac1daace887e7d92013780b625102fcde68b)
donc
![{\displaystyle \mathrm {\left(T_{1}\pm U_{1}{\sqrt {A}}\right)^{2}=T_{2}\pm U_{2}{\sqrt {A}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452603c5d7dade086db11c8d08ca12147686a51b)
c’est-à-dire, en comparantla partie rationnelle du premier membre avec la rationnelle du second, et l’irrationnelle avec l’irrationnelle,
![{\displaystyle \mathrm {T_{2}=T_{1}^{2}+AU_{1}^{2},\quad U_{2}=2T_{1}U_{1}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622fb5312e20c9b0831b5876408bdc673915f9dc)
donc, puisque
est divisible par
le sera aussi, et
laissera le même reste que laisserait
mais on a
(hyp.) : donc
doit être divisible par
et même par
puisque
l’est déjà ; donc
et par conséquent aussi
étant divisés par
laisseront le reste ![{\displaystyle 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8c4e445819b13a052647aa3eb2be990b0a4b24)
Maintenant je dis que les valeurs de
et
qui répondent à un exposant quelconque
étant divisées par
laisseront les mêmes restes