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deviendra

$t^{2}-\mathrm {A} \Delta ^{2}\omega ^{2}=1,$

laquelle est toujours résoluble en nombres entiers ; et l’on trouvera les plus petites valeurs de $t$ et $\omega$ en faisant le même calcul qu’auparavant, mais en prenant $\mathrm {A} \Delta ^{2}$ à la place de $\mathrm {A} .$ Or, comme ces valeurs satisfont aussi à l’équation

$t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1,$

elles seront nécessairement renferméesdans les formules du n^o 75. Ainsi il y aura nécessairement une valeur de $m$ qui rendra l’expression de $u$ divisible par $\Delta .$

Qu’on dénote cette valeur de $m$ par $\mu ,$ et je dis que si, dans les expressions générales de $t$ et $u$ du numéro cité, on fait $m=2\mu ,$ la valeur de $u$ sera divisible par $\Delta ,$ et celle de $t$ étant divisée par $\Delta$ donnera $1$ pour reste.

Car, si l’on désigne par $\mathrm {T} _{1}$ et $\mathrm {U} _{1}$ les valeurs de $t$ et $u$ où $m=\mu ,$ et par $\mathrm {T} _{2}$ et $\mathrm {U} _{2}$ celles où $m=2\mu ,$ on aura (n^o 75)

${\begin{aligned}&\mathrm {T_{1}\pm U_{1}{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)^{\mu }} ,\\&\mathrm {T_{2}\pm U_{2}{\sqrt {A}}=\left(T\pm U{\sqrt {A}}\right)^{2\mu }} \,;\end{aligned}}$

donc

$\mathrm {\left(T_{1}\pm U_{1}{\sqrt {A}}\right)^{2}=T_{2}\pm U_{2}{\sqrt {A}}} ,$

c’est-à-dire, en comparantla partie rationnelle du premier membre avec la rationnelle du second, et l’irrationnelle avec l’irrationnelle,

$\mathrm {T_{2}=T_{1}^{2}+AU_{1}^{2},\quad U_{2}=2T_{1}U_{1}} \,;$

donc, puisque $\mathrm {U} _{1}$ est divisible par $\Delta ,$ $\mathrm {U} _{2}$ le sera aussi, et $\mathrm {T} _{2}$ laissera le même reste que laisserait $\mathrm {T} _{1}^{2}\,;$ mais on a $\mathrm {T_{1}^{2}-AU_{1}^{2}} =1$ (hyp.) : donc $\mathrm {T} _{1}^{2}-1$ doit être divisible par $\Delta$ et même par $\Delta ^{2},$ puisque $\mathrm {U} _{1}^{2}$ l’est déjà ; donc $\mathrm {T} _{1}^{2}$ et par conséquent aussi $\mathrm {T} _{2},$ étant divisés par $\Delta ,$ laisseront le reste $1.$

Maintenant je dis que les valeurs de $t$ et $u$ qui répondent à un exposant quelconque $m,$ étant divisées par $\Delta ,$ laisseront les mêmes restes